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椭圆的简单几何性质（2）

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常见问题

1、1,3.1.2椭圆的简单几何性质（2）,高二数学选修2-1 第三章圆锥曲线与方程,2,复习练习： 1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（）,2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴都对称的是（） A、x2=4y B、x2+2xy+y=0 C、x2-4y2=x D、9x2+y2=4,C,D,3,练习,1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为。 2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为。 3、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为。,4,4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=_,(a,0),a,(0, b),b,(-a,0),a+c,(a,0),a-c,6、,5、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率。,5,例5 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一

2、个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.,解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为,A,6,例1 如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B距地面2384km.并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程（精确到1km).,X,O,F1,F2,A,B,X,X,Y,解：以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，AB与地球交与C,D两点。,由题意知：,|AC|=439,|BD|=2384,D,C,b7722.,7,2、2005年10月17日，神州六号载人飞船带着亿万中华儿女千万年的梦想与希望，遨游太空返回地面。其运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，设其近地点距地面m(km)，远地点距地面n(km)，地球半径R(km)，则载人飞船运行轨道的短轴长为（）,A. mn(km) B. 2mn(km),D,8,所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。,9,思考上面探究问题，并回答下列问题：,

3、探究：,（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹,（2）给椭圆下一个新的定义,10,探究、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a（ac0),求点M 的轨迹。,y,F,F,l,I,x,o,P=M| ,由此得,将上式两边平方，并化简，得,设 a2-c2=b2,就可化成,这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a,2b 的椭圆,M,解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合,11,y,由探究可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。此为椭圆的第二定义.,对于椭圆，相应于焦点F（c,0) 准线方程是 , 根据椭圆的对称性，相应于焦点F(-c.0) 准线方程是 , 所以椭圆有两条准线。,12,归纳:,椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。,13,由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：,14,练习,（ab0）左焦点为F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+e

4、x0，|PF2|=a-ex0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.,（ab0）下焦点为F1，上焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.,说明：,15,焦半径公式,该公式的记忆方法为左加右减”，即在a与ex0之间，如果是左焦半径则用加号“+连接，如果是右焦半径用“”号连接,焦点在x轴上时： PF1=a+exo，PF2=a-exo；,焦点在y轴上时： PF1=a+eyo,PF2=a-eyo。,该公式的记忆方法为下加上减”，即在a与ey0之间，如果是下焦半径则用加号“+连接，如果是上焦半径用“”号连接,焦半径的最大值为：a+c,焦半径的最小值为：a-c,16,例7.,解：,17,课堂练习,1、椭圆上一点到准线与到焦点（-2，0）的距离的比是（）,B,2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是( ),C,18,3.若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是 x=4, 对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是 _,3x2-8x+4y2=0,4：已知椭圆 P为椭圆在第一象限内的点，它与两焦点的连线互相垂直，求P点的坐标。,19,变式: 1.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8,则动点M的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定,B,20,例8：求椭圆上一点P,使得点P与椭圆两焦点连线互相垂直.,21,引申:当点P与两焦点连线成钝角时,求P点的横坐标的取值范围.,例8：求椭圆上一点P,使得点P与椭圆两焦点连线互相垂直.,22,23,24,小结,1. 椭圆的第二定义 2.焦半径：焦点在x轴上时： PF1=a+ex0，PF2=a-ex0；焦点在y轴上时： PF1=a+ey0,PF2=a-ey0。,

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