第3章量子力学初步

1、第三章 量子力学初步,内容： 1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例 6、量子力学对氢原子的描述,1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化,1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子,1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态,薛定谔 (Erwin Schrdinger, 18871961),薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在量子化就是本征值问题的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，1944年，他发表一本名为什么是生命 活细胞的物理面貌的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。,奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。,狄拉克（Paul

2、 Adrien Maurice Dirac，1902-1984）,英国理论物理学家。1925年，他作为一名研究生便提出了非对易代数理论，而成为量子力学的创立者之一。第二年提出全同粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出了电子的相对论性运动方程，奠定了相对论性量子力学的基础，并由此预言了正负电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的存在，使人们对物质世界的认识更加深入。他还有许多创见（如磁单极子等）都是当代物理学中的基本问题。由于他对量子力学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933年诺贝尔物理学奖金。,德布罗意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960),德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。 1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文关于量子理论的研究中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。 爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。,法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。,3.1

3、微观粒子的波粒二象性,一、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，光是一种电磁波 20世纪初，光量子,-光的波粒二象性,德布罗意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960),德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。 1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文关于量子理论的研究中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。 爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。,法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。,136 德布罗意波 实物粒子的二象性,一.德布罗意物质波思想起源,1.X射线的研究:,布拉格认为X射线是粒子,劳厄提出X射线是波长极短的电磁波,X射线时而像波,时而像粒子的奇特性质引起了许多人的关注,德布罗意认为:波和粒子必定总是结合在一起.,2.接受相对论和光量子学说,特别是1923年4月compton效应发现以后,使他对光子概念的认

4、识更加深入、清晰。,1923年9月24日，第二篇论文光量子、衍射和干涉,1923年10月8日第三篇论文量子、气体运动理论及费马原理,1924年完成了博士论文量子理论的研究，11月25日通过答辩，1925年发表在物理杂志上，该论文对他一年来的工作提出了系统的有逻辑性的报告，完整地阐述了他的物质波理论及应用,1923年9月10日，发表第一篇关于物质波的论文辐射波和量子提出了实物粒子也具有波粒二象性,二.物质波概念的提出,物质波思想的影响：1、具有独创性和非凡的技巧；2、提出用晶体对电子的衍射来验；3、得到了爱因斯坦的高度评价；4、量子力学是物质波思想的直接影响下的一个丰硕成果.,三、德布罗意假设,一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，也具有以频率n和波长l所描述的波动性。,这种波称为德布罗意波，也叫物质波。,德布罗意 公式,如速度v=5.0102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为：,如电子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为：,太小测不到！,X射线波段,例题1：从德布罗意波导出氢原子

5、波尔理论中的角动量量子化条件。 德布罗意把原子定态与驻波联系起来，即把能量量子化与有限空间驻波的波长和频率联系起来。如电子绕原子一周，驻波应衔接，所以圆周长应等于波长的整数倍。,再根据德布罗意关系,得出角动量量子化条件,二、德布罗意关系式 微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：,-德布罗意关系式。,与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德布罗意波长。,德布罗意关系式还可以写成,式中， ：角频率； ：传播方向上的单位矢量,适用条件：(1)电子，(2)非相对论(U不能太大)。,：波矢量,粒子的德布罗意波长：,1当 时，,2当 时，,经过电场加速的电子：,三、德布罗意假设的实验验证 1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。,1实验装置,2实验结果,(1)当U不变时，I与的关系如图 不同的，I不同；在有的上将出现极值。,(2)当不变时，I与U的关系如图 当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化,3实验解释,晶体结构：,当 时加强-布拉格公式

6、。,波程差：,实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意 公式的正确性。并进一步证明：一切实物粒子(电子、 中子、质子等都具有波动性。,可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。 对于通过电压U加速的电子：,当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值,当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大 值。,观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie-1993,汤姆逊实验,1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属箔后射到照相底线上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。,1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。,电子通过狭缝的衍射实验： 1961年，约恩孙 (Jonsson)制成长为50um，宽为0.3um ，缝间距为1.0um的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。,中子衍射,射线衍射,X,X射线经晶体的衍射图

7、,电子射线经晶体的衍射图,由于电子波长比可见光波长小10-310-5数量级，从而可大大提高电子显微镜的分辨率。 1932年，德国的鲁斯卡研制成功电子显微镜。 我国已制成80万倍的电子显微镜，分辨率为14.4nm.n， 能分辨大个分子有着广泛的应用前景。,五、应用举例,1、电子显微镜,2、扫描隧道显微镜,1981年，德国的宾尼希和瑞士的罗雷尔制成了扫描隧道显微镜，他们两人因此与鲁斯卡共获1986年的诺贝尔物理学奖金。其横向分辨率可得0.1nm，纵向分辨率可得0.001nm ，它在纳米材料、生命科学和微电子学中起着不可估量的作用。,六、德布罗意波的统计解释,1、光的衍射,根据光的波动性，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处波的强度大，暗处波的强度小。而波的强度与振幅的平方成正比，所以衍射图样中，亮处的波的振幅的平方大，暗处的波的振幅平方小。 根据光的粒子性：某处光的强度大，表示单位时间内到达该处的光子数多；某处光的强度小，表示单位时间内到达该处的光子数少。 从统计的观点来看：相当于光子到达亮处的概率要远大于光子到达暗处的概率。因此可以说，粒子在某处附近出现的概率是与该处波的强度成正比的，而波

8、的强度与波的振幅的平方成正比，所以也可以说，粒子在某处附近出现的概率是与该处的波的振幅的平方成正比的。,2德布罗意波统计解释,从粒子的观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地射向照相底片各处形成的，有些地方电子密集，有些地方电子稀疏，表示电子射到各处的概率是不同的，电子密集的地方概率大，电子稀疏的地方概率小。 从波动的观点来看，电子密集的地方表示波的强度大，电子稀疏的地方表示波的强度小，所以，某处附近电子出现的概率就反映了在该处德布罗意波的强度。对电子是如此，对其它粒子也是如此。 普遍地说，在某处德布罗意波的振幅平方是与粒子在该处出现的概率成正比的。这就是德布罗意波的统计解释。,3德布罗意波与经典波的不同,机械波机械振动在空间的传播 德布罗意波是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅的平方表示粒子出现的概率，故是概率波。,* 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义,(1)人射强电子流,干涉花样取决于概率分布，而概率分布是确定的。,电子yangshi双缝实验,(2)入射弱电子流,电子干涉不是电子之间相互作用引起的，是电子自己和自己干涉的结果。,例1. 计算下列运动物质的德布罗意波长,(1) 质

9、量100g, v = 10ms1运动的小球。,(2) 以 2.0 103ms 1速度运动的质子。,(3) 动能为 1.6 107 J 的电子,练习题:1.在B=1.2510-2T的匀强磁场中沿半径为R=1.66cm的圆轨道运动的粒子的德布罗意波长=.,2.运动速率等于300K时方均根速率的德布罗意波长是.氢原子质量m=1.6710-27kg,玻尔兹曼常数k=1.3810-23JK-1,3.已知第一玻尔轨道的半径为a,当氢原子中电子沿第n玻尔轨道运动时,其相应的德布罗意波长是.,4.能量为15ev的光子,被处于基态的氢原子吸收,使氢原子电离发射一个光电子,此光电子的德布罗意波长为.,海森伯（W. K. Heisenberg，1901-1976）,德国理论物理学家。他于1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献，而于25岁时提出的不确定关系则与物质波的概率解释一起奠定了量子力学的基础。为此，他于1932年获得诺贝尔物理学奖金。,不确定关系,3.2 不确定关系,一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出),电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为 ，经过 狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：,x方向上，粒子坐标的不确定度为,又,粒子动量的不确定度为,狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝 宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了 变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子 的坐标，又能避免动量发生变化。,如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量 就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有 确定的值。,1927年，海森堡首先推导出不确定关系：,二、不确定关系,三、讨论 1不确定关系只适用于微观粒子,2,例1： 设电子与 的子弹均沿x方向运动， ， 精确度为 ，求测定x 坐标所能达到的最大准确度。,电子： 子弹：,上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的量值关系。量子力学严格证明给出：,x表示粒子在x方向上的位

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