2019年第36届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题卷(含答案和解析)
26页1、 1 / 26 第第 36 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答 2019 年 9 月 21 日2019 年 9 月 21 日 一(40 分) 、如图 a,旅行车上有一个半径为 R 的三脚圆凳(可视为刚性结构),三个相同凳 脚的端点连线(均水平)构成边长为 a 的等边三角形,凳子质心位于其轴上的 G 点半径 为 r 的一圆筒形薄壁茶杯放在凳面上,杯底中心位于凳面中心 O 点处,茶杯质量为 m(远 小于凳子质量) ,其中杯底质量为 5 m (杯壁和杯底各自的质量分布都是均匀的) ,杯高为 H (与杯高相比,杯底厚度可忽略) 杯中盛有茶水,茶水密度为重力加速度大小为g 1)为了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定,杯中茶水的最佳高度是多少? 2)现该茶水杯的底面边缘刚好缓慢滑移到与圆凳的边缘内切于 D 点时静止(凳面边有小凸 缘,可防止物体滑出;凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的) ,且 ODAC(见 图 b) ,求此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于滑移前(该茶水杯位于凳面中心处) 的改变 参考解答:参考解答: 1)以凳面中心 O
2、为坐标原点,以过 O 点向上的竖直线为 y 轴. 茶杯(包括茶水在内)的质 心位置 CM y为 2 CM 2 4 () 522 () m Hh r h y mr h (1) 5 分 式中h是杯中茶水的高度. 令 2 r,(1)式即 2 CM 4 522 m Hh y mh 事实上, 考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程, 茶水杯整体的质心先 是逐渐降低,然后再逐渐上升. 为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定,茶水杯整 体的质心应尽可能接近凳面,处于最低点的位置 CMmaxCMmin ()()yhhy,故有 max CM d 0 d h h y h (2) 5 分 由(1)(2)式得 max 4 11 5 mH h m (3) 舍弃负值(不合题意) ,杯中茶水的最佳高度为 图 b G R D A B O a C G R A C B O a 图 a 2 / 26 max 2 2 4 11 5 4 11 5 mH h m mr H rm (4) 3 分 另一解法: 事实上, 考虑在茶杯中的茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程, 茶水杯整体的质心 先是逐渐降低,然后再逐渐上升
3、. 为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定,茶水杯 整体的质心应尽可能接近凳面,处于最低点的位置 CMmaxCMmin ()()yhhy. (1)式即 2 CM 2 52 2 mHm mhm y mh 它满足代数不等式 22 CMCMmin 22 5252 22() 22 mHmmHm mhmm yy mh (2) 5 分 式中当h满足 2 2 52 2 mHm mh mh (3) 即 max 2 2 4 11 5 4 11 5 mH hh m mr H rm (4) 3 分 时取等号, max h即杯中茶水的最佳高度. 2)记凳子质量为 M. 该茶水杯的底面边缘刚好滑移到与圆 凳的边缘内切于 D 点静止后,坐标系及三脚圆凳的受力分 析分别如解题图 a 和解题图 b 所示, 其中 A N、 B N和 C N分 别是车内底板对凳脚 A、B 和 C 的支持力由几何关系有 /2 oAoB cos303 aa (5) 3 分 ootan30 22 3 aa (6) 3 分 三脚圆凳处于力平衡状态,竖直方向合力为零 ABC 0NNNQP (7) 3 分 AC NN (8) 3 分 式中, m
4、ax Qmghg,PMg. 由(7) (8)式得 AB 20NNQP 以 x 轴为转动轴,力矩平衡 BAC o B()o o0Q RrNNN (9) 5 分 记RRr ,由(5)(6)(9)式有 A C B o o a x 解题图 a Q G R D A NA NC NB C B O o x o 解题图 b 3 / 26 BA 20 32 3 aa QRNN 另一解法: 以 AC 为转动轴,由力矩平衡条件有 B (oo )(oBoo )oo0Q RNP (9) 5 分 即 B ()()0 2 332 32 3 aaaa Q RNP 联立以上各式得 B 2 (2 3) 3 4 12 31 53 aR QaP N a Rrr Hg mM am (10) AC 2 (3) 3 4 131 53 aR QaP NN a Rrr Hg mM am (11) 值得指出的是,解(10)满足 B 0N ,即 2 2 3()4 1 5 Rrar H Mm am (12) 这已由题给条件保证了 由(7)(10)(11)式得,此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于茶水杯滑移前的改变为 B 2 (2 3) 3
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