《等差数列的前n项和》课件2

等差数列的前n项和,新 知,定义:设数列,我们把a1a2 a3 an叫做 数列 an 的前n项和，记作Sn.,问题提出,从一加到一百有什么方法加最快呢？,高斯在10岁时就巧妙地求出了n=100时的结果.,S100=1 +2 +3 +4 +98+99+100,=100+99+98+97+3 + 2+ 1,这两个等式上、下对应的和均为101，所以.,2S100=101+101+101+101+101+101,因为有100个101，所以.,2S100=101×100=10100,S100=5050,问题提出,有200根相同的圆木料,要把它们堆放成正三角形垛,并使剩余的圆木料尽可能的少,那么将剩余多少根圆木料?,根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成等差数列:,1,2,3,4,设共摆放了n层,能构成三角形垛的圆木料数为Sn,则:,Sn=1+2+3+4+n,抽象概括,设Sn是等差数列an的前n项和，即,那么根据等差数列an的通项公式，上式可以写成：,再把项的次序反过来，又可以写成,把，等号两边分别相加，得,n个,于是，首项为a1 ，末项为an，项数为n的等差数列的前n项和,这个公式表明:等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.,将,代入式 ，得,特别地，当a1 =1， d =1时，n个连续正整数的和,圆木料问题，即转化为求满足,的最大自然数n,此时，将堆垛19层，剩余10根圆木料.,例1.求n个正奇数的和.,解: 由等差数列前n项和公式,得,也可用面积图来表示,例2.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问: (1)第9圈共有多少块石板? (2)前9圈一共有多少块石板?,解(1)设从第1圈到第9圈石板数所在成数列为an ,由题意可知an是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9.,由等差数列的通项公式,得第9圈有石板,(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板,答：第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.,（块）,（块）,例3.在数列an中 , an=2n+3,求这个数列自第100项到第200项之和S的值.,解：由于,所以数列an是公差为2的等差数列,此数列自第100项到第200项仍是等差数列.共有101项,所求和为,例4.在新城大道一侧A处,运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗,这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗,并返回A处,植树工人共走了多少路程?,解：植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程(单位:m)组成了一个数列,0,20,40,60,380,这是首项为0,公差为20,项数为20的等差数列,其和,答：植树工人共走了3800m的路程.,1.已知一个数列的前n项和为,解：当,求它的通项公式,它是等差数列吗?,当n=1时,1 (n=1),2n (n2),数列an中每一项与前一项的差不是同一个常数., an 不是等差数列.,课堂练习,2.已知两个等差数列an与bn,它们的前n项和的比为,解：设,课堂练习,倒序求和法,推导,等差数列前n项和公式,课堂小结,谢谢观看！,