数学物理方程 答案 谷超豪

第一章 波动方程 §1 方程的导出。定解条件1细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程 其中为杆的密度，为杨氏模量。证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 与。现在计算这段杆在时刻的相对伸长。在时刻这段杆两端的坐标分别为：其相对伸长等于 令，取极限得在点的相对伸长为。由虎克定律，张力等于其中是在点的杨氏模量。设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为于是得运动方程 利用微分中值定理，消去，再令得若常量，则得=即得所证。2在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为 (2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边界条件为 |=0 同理，若为自由端，则相应的边界条件为 (3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数给出，则在端支承的伸长为。由虎克定律有其中为支承的刚度系数。由此得边界条件 其中特别地，若支承固定于一定点上，则得边界条件。同理，若端固定在弹性支承上，则得边界条件 即 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 其中为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则点处截面的半径为：所以截面积。利用第1题，得 若为常量，则得4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图2，设弦长为，弦的线密度为，则点处的张力为且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻沿垂直于轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为其中表示方向与轴的夹角又 于是得运动方程 利用微分中值定理，消去，再令得。5. 验证 在锥>0中都满足波动方程证：函数在锥>0内对变量有二阶连续偏导数。且 同理 所以 即得所证。6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程. 解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为,故上所受摩阻力为 运动方程为: 利用微分中值定理，消去,再令得 若常数，则得 若 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程的通解可以写成 其中F,G为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题: 解：令则 又 代入原方程，得即 由波动方程通解表达式得所以 为原方程的通解。由初始条件得所以 由两式解出 所以 +即为初值问题的解散。问初始条件与满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at)其中F，G由初始条件与决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对于任何有 G(x+at)常数.即对任何x, G(x)C又 G（x）=所以应满足 （常数）或 (x)+=03.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0 得 =F（0）+G（2x）令 x+at=0 得 =F（2x）+G(0)所以 F(x)=-G(0). G（x）=-F(0).且 F（0）+G(0)=所以 u(x,t)=+-即为古尔沙问题的解。4对非齐次波动方程的初值问题 证明：（1） 如果初始条件在x轴的区间x,x上发生变化，那末对应的解在区间，的影响区域以外不发生变化；（2） 在x轴区间上所给的初始条件唯一地确定区间的决定区域中解的数值。 证：（1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)= +当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐次方程初值的解。 当在上发生变化，若对任何t>0,有x+at<x或x-at>x,则区间x-at,x+at整个落在区间之外，由解的表达式知u(x,t)不发生变化，即对t>0,当x<x-at或x>x+at,也就是（x,t）落在区间的影响域 之外，解u(x,t)不发生变化。 （1）得证。(2). 区间的决定区域为 在其中任给（x,t）,则 故区间x-at,x+at完全落在区间中。因此上所给的初绐条件代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。5. 若电报方程具体形如的解（称为阻碍尼波），问此时之间应成立什么关系？解代入方程，得由于是任意函数，故的系数必需恒为零。即于是得所以代入以上方程组中最后一个方程，得又即最后得到6利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：。由题意知仅在上给出，为利用达朗贝尔解，必须将开拓到上，为此利用边值条件，得。因此对任何必须有即必须接奇函数开拓到上，记开拓后的函数为；所以。7求方程形如的解（称为球面波）其中。解：代入原方程，得即 令 ，则 代入方程，得 v满足 故得通解 所以 8求解波动方程的初值问题 解：由非齐次方程初值问题解的公式得 = = = =即 为所求的解。9求解波动方程的初值问题。解： =+=+所以   §3混合问题的分离变量法1. 用分离变量法求下列问题的解：(1) 解：边界条件齐次的且是第一类的，令得固有函数，且， 于是 今由始值确定常数及，由始值得 所以 当 因此所求解为 (2) 解：边界条件齐次的，令 得： (1)及 。求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。时，方程的通解为 由得由得解以上方程组，得，故时得不到非零解。时，方程的通解为由边值得，再由得，仍得不到非零解。时，方程的通解为 由得，再由得 为了使，必须 ，于是 且相应地得到 将代入方程(2)，解得 于是 再由始值得容易验证构成区间上的正交函数系：利用正交性，得 所以 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 求解此问题。解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取，则满足 ，令代入原定解问题，则满足 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为， 故设 将方程中非齐次项及初始条件中按展成级数，得其中 其中 将(2)代入问题(1)，得满足解方程，得通解由始值，得 所以 因此所求解为 3用分离变量法求下面问题的解 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 设 将非次项按展开级数，得其中 将 代入原定解问题，得满足方程的通解为由，得：由，得所以 所求解为 4用分离变量法求下面问题的解： 解：方程和边界条件都是齐次的。令 代入方程及边界条件，得 由此得边值问题因此得固有值，相应的固有函数为