第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第二试

第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第二试1写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。解如果自然数n是某一个自然数m的平方，即n=m2，则称自然数n为完全平方数。从约数的性质可知：具有奇数个约数的自然数一定是完全平方数。从360到630的自然数中，完全平方数为361，400，441，484，529，576和625。因此这7个完全平方数即为所求。答：它们分别是361，400，441，484，529，576和625。分析我们简要说明一下，为什么具有奇数个约数的自然数一定是完全平方数。设a是自然数n的约数。根据约数的性质可知有自然数b使得n=a×b。因此b也是n的约数。当ab时，a与b成对出现。因此共有偶数个约数按题意n有奇数个约数，因此必定有一个约数a使得a=b，也就是说，na×a=a2，这就证明了n必为完全平方数。2，四边形ABCD被AC和DB分成甲，乙，丙，丁4个三角形。已知：BE=80cmCE=60cm，DE=40cm，AE=30cm问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？解由三角形面积公式可知：同高的两个三角形的面积之比等于底边长之比从三角形BDA可知：甲丁=8040=21，从三角形 BDA可知：乙丁=6030=21，因此甲+乙=4×丁再由三角形BCA可得丙甲=6030=21，所以丙=2×甲=4×丁由此可得（丙+丁）（甲+乙）=5丁4丁=54。倍。问：a除以13所得余数是几？解法1用试除的方法可知：1可以被13除尽。原数a有1991个1991。因为1991除以3余2，所以a与除以13所得余数相同。容易看出：除以13余8，因此a除以13的余数也是8。答：a除以13所得余数为8。解法2充分利用自然数同余的性质。我们先注意1001是13的倍数，同样8008也是13的倍数，而9999=19918008，所以9999与1991除以13所得余数相同。利用同一理由可知：数与数a同余，因此只要求b除以13的余数就可以了。我们可以将b改写成再注意到111 111=1001×111能被13除尽。而（1991×4）除以6所得余数为2，所以数b与99同余。容易看出99除以13余8，所以b除以13也余8，也就是说，a除以13余8。4某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩是755分、81分。问：这个班男、女生人数的比是多少？解已知全班平均成绩为78分，而男生平均成绩为755分，因此每个男生比平均分少（78-755）分，而每个女生比平均分多（81-78）分。男生总共少的分数应该等于女生总共多的分数，所以有（78-755）×男生数=（81-78）×女生数移项可得男生数：女生数=（81-78）（78-755）=65答：男女生人数比为65。分析与讨论此题当然也可以用代数方法去解，其基本想法是一样的。同学们可以试一试，看看有什么相同和不同的地方。5某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面。当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在位置相同时，它们就被看作是同一种积木块。试说明：最多能涂成多少种不同的积木块？解我们先注意正方体上的两个面，或者处于相对的位置（如顶面和底面）或者处于相邻的位置（如顶面和一个侧面）。按题意，每种颜色各涂两个面，因此我们可以根据同一颜色的两个面所处的位置将所有积木块分成以下儿种不同的情形。（）同色的两个面均为相对面，即红红相对，黄黄相对，蓝蓝相对这种情形只有一种。其理由是： 首先可以将红色面放在顶面和底面的位置上，然后可以将黄色面放在正面和背面的位置上，这样，左面和右面就只是蓝色面了。冈为所有这样的积木（同色面相对）都可以放成上面这种位置，所以只有1种。（）3种颜色中有两种颜色，其同色的两面为相对面。这时，第三种颜色的两个面也必然相对，因此这就是第一种情形。（）3种颜色中，只有1种领色的两个面为相111 对面。这种情形共有3种不同的积木块。理由如下：首先不妨设红色的两个面为相对面。将这两个面置于顶面和底面，这样4个侧面就为黄色和蓝色，并且同1种颜色的两个面相邻。我们通过适当的转动，总可以将黄色面放在正面和右面，而蓝色面放在左面和背面，因此只有1种积木块。但是相对的面也可能黄色或蓝色，因此又各有1种积木块，显然这3种积木块是不相同的（因为任何转动都不能将相邻面变成相对面，也不能将相对面变成相邻面），所以共有3种不同的积木块。（）最后一种情形，每种颜色的两个面均为相邻面。这种情形有两种不同的积木块。这是比较困难的一种情形。首先我们可以看出积木块的3组相对面的颜色只能是（红、黄），（红、蓝），（黄、蓝）。为了使积木块固定不动。我们先通过适当转动使得顶面为红色，底面为黄色。然后再将侧面适当转动使得正面为红色，背面为蓝色，这样积木块就不能再动了。这时积木的左面和右面可以分别是黄色和蓝色，也可以是蓝色和黄色，这代表了两种不同的积木块总结上述讨论，总共有6种不同的积木。答：共有6种不同的积木块分析与讨论这是在决赛题中大家认为比较难的一道题，只有一个同学给出了比较满意的解答。也有一些同学的思路接近正确的解答同学们以往可能很少碰到这类问题，特别是在书本上很少接触到但是在日常生活中肯定已多次见过类似的情况，只是没有太留心罢了例如：工厂生产的钢珠，一般只以直径来区分。同一直径的都看成一种，而并不关心放成什么位置。同样道理，一盒乒乓球总是看成一样的球是最简单的图形，而立方体则是比球稍稍复杂一点的图形，也是可以“翻来倒去”的这道题的主要目的是看看同学们的空间想象力，这是数学中最基本的能力之一如果在每个参赛的小朋友面前放一个积木块让大家看着实物做，也许会有不少小朋友能得到正确的答案，但凭空想象就难多了。有兴趣的同学们不妨找一些旧木块（或旧纸盒子），自己在桌上摆摆看，一边摆一边想，对提高空间想象力是颇有好处的在弄明白了这道题以后，如果再有兴趣，可以将题目中的限制“每色各涂两个面”这句话去掉，也就是说，每种颜色涂的面数不限，问有多少种不同的积木块？祝你成功！6一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7公里。从早晨7点开始，有18列货车由第十一站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每小时60公里。早晨8点，由第一站发出一列客车，向第十一站驶去，时速是100公里。在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站。问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？就会遇到一列货车。若客车在某两个相邻站A和B之间遇到3列货车，那么由于A和B相距7公里，客车和其中第一列货车相遇的地点与A站的距离不 面已经没有3列货车了）。 距离减去一个7的倍数就行了。（为什么？）我们可以依次计算货车的列数n（按发车次序）和客车遇到货车时与前一站的距离S（公里）：车了，不可能再与3列货车相遇。答：在第五、六两站之间，客车与3列货车相遇。解法2我们考虑客车在到达各站时，与前方各列货车的距离由于货车的速度是客车的60，在客车从某一站A行驶到下一站B时（行驶7公里），各列货车行驶了7公里×60=42公里因此，在客车到达A站时，客车前方112公里以内的各列货车，在客车到达B站前都能与客车相遇若在A站和B站间客车遇到3列货车，那么其中第三列与A站的距离至多为112公里而与其中第一列货车的距离为5公里×2=10公里，所以其中第一列货车与A站的距离不超过112公里-10公里=12公里。反过来，若客车在到达A站时前方12公里以内有一列货车，则客车在到达B站前一定能遇到3列货车。我们可以把客车到达各站时与前方第一列货车的距离列一个表，表中第一行是车站编号，第二行是客车与前方第一列货车的距离（公里）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11无 3.8 2.6 1.4 0.2 4 2.8 1.6 无 无这个表的规律是：第二行除第一个数外，每个数等于它前面一个数加上一个5的倍数再减112。（为什么？）其中有两个数小于12，相应的站分别为第5站和第9站。但客车在到达第九站时前方只有1列货车了，故只能在第五、六两站之间3列货车相遇。答：在第五、六两站之间，客车与3列货车相遇。分析与讨论（1）我们可以将各相邻站间与客车相遇的货车列数标在表上，其中第一行是车站编号，第二行是与客车相遇的货车列数。1 2 3 4 5 6 7 3 9 10 111 2 2 2 3 2 2 2 2 0（2）本题也可以这样解：考虑客车与各列货车相遇的时间，以及客车到达各站的时间，从中找到规律，并讨论客车到达各站后再过多少时间与前方第一列货车相遇，等等这个解法与第一种解法在原理上相近，但计算更复杂些（3）在第一种解法里，若将客车遇到货车时与前一站的距离乘以8，得到的都是整数。这些整数可以这样得到：将货车的列数加1，再乘以25，然后除以56，所得的余数就是该货车所对应的整数（为什么？）因此，本题就化成这样的问题：找一个25的倍数，它除以56的余数不大于6。在第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛第十二题的解法中，我们也可以看到这样的问题电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究