第一轮复习-风向标基本初等函数(ⅱ)

第三章 基本初等函数（）知识网络任意角的概念弧长与扇形面积公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角图像和性质和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用第1讲 弧度制与任意角的三角函数知 识 梳理1任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生正角、负角和零角.象限角：若角的终边在第象限，则称为第象限角；终边相同的角所有与终边相同的角连同在内构成集合为2弧度制的概念：与半径等长的圆弧所对的圆心角称为1（弧度）的角.角度与弧度的互化公式：； 3扇形的弧长公式： （扇形的圆心角为弧度，半径为）；扇形的面积公式： 4 任意角的三角函数的定义：在角的终边上任取点，设则 ；5 三角函数在各象限的符号：上正下负横轴零，左负右正纵轴零，交叉正负横轴零6三角函数的定义域三角函数定义域RR重 难 点 突 破 1.重点：掌握任意角的三角函数的定义和弧度制处理三角式的化简，求值等问题。2.难点：确定三角函数值的符号，理解弧度的概念及其与角度的关系3.重难点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 掌握终边相同的角的表示方法和扇形弧长和面积的计算. (1)角的范围的确定应用不等式的性质和结合终边相同的角的表达式。问题1：若是第三象限角，试求、的范围.点拨：依据象限角的表示法将表示出来后，再确定、的范围，再进一步判断、所在的象限.：是第三象限角k·360°+180°k·360°+270°(kZ)(1)k·180°+90°k·180°+135°(kZ)当k2n(nZ)时，n·360°+90°n·360°+135°当k2n+1(nZ)时，n·360°+270°n·360°+315°为第二或第四象限角.(2)k·120°+60°k·120°+90°(kZ)当k3n(nZ)时，n·360°+60°n·360°+90°(nZ)当k3n+1(nZ)时，n·360°+180°n·360°+210°（nZ)当k3n+2(nZ)时，n·360°+300°n·360°+330°(nZ)为第一或第三或第四象限角.（2）扇形弧长和面积的计算严格按公式进行转化。问题2. 一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求AOB和弦AB的长.分析：欲求AOB，需要知道的长和半径OA的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在AOB中求弦AB的长.作OMAB交AB于M，则AMBMAB，在RtAMO中求AM.解：设扇形的半径为R cm.AOB= rad.据题意 解之得过O作OMAB交AB于M.则AMBMAB.在RtAMO中，AMsin1，AB2sin1故AOB2 rad.该AB的长为2sin1厘米.热 点 考 点 题 型 探 析考点1 角的概念问题题型1: 终边相同的角的表示方法例1 写出所夹区域内的角的集合。【解题思路】任一与角终边相同的角，都可以表示成与整数个周角的和.解：当终边落在上时，角的集合为； 当终边落在上时，角的集合为；所以，按逆时针方向旋转有集合：【名师指引】把一条直线分成两部分，分别写出它们对应角的集合，最后求并集即可题型2:象限角的表示.例2已知角是第二象限角，求：（1）角是第几象限的角；（2）角终边的位置。【解题思路】依据已知条件先得出角的范围,再讨论值确定象限角.解析，；当为偶数时，在第一象限，当为奇数时，在第三象限；即：为第一或第三象限角。，的终边在下半平面。【名师指引】已知所在象限，求所在象限问题,一般都要分n种情况进行讨论【新题导练】1设M小于的角，N第一象限的角，则（ ）A、锐角 B、小于的角 C、第一象限的角 D、以上都不对解析：D 小于的角是由锐角、零角及负角组成，第一象限的角包括锐角及其它终边在第一象限的角，所以是由锐角和终边在第一象限的负角组成的角2写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合_解析: 3已知，判断所在的象限解析：在第一象限或第二象限，可设，若，则，若，则故在第一象限或第二象限考点2 弧度制与弧长公式题型1:角度制与弧度制的互化例3.（1）设，用弧度制表示它们，并指出它们各自所在的象限（2）设，用角度制表示它们，并在范围内找出与它们有相同终边的所有角【解题思路】用互化公式.解析（1），在第二象限，在第一象限（2），与它终边相同的角可表示为，由得，即在范围内与有相同终边的角是 同理且在范围内与有相同终边的角是【名师指引】角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在象限，关键是在内找到与该角终边相同的角例4设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 【解题思路】用扇形面积和弧长公式.解析: 【名师指引】在扇形的弧长公式与弓形的面积公式中，所用到的角的单位是弧度，不是角度【新题导练】4化为弧度为（ ） A、 B、 C、 D、解析B 5三角形三内角的比是7815，各内角的弧度数分别是_解析：设三角形的三内角分别是，则故所以各内角的弧度数分别是考点3三角函数的定义与三角函数的符号题型1:判断三角函数值的符号例5. 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）sin（） （3）tan（672°） （4）tan【解题思路】 直接根据三角函数的符号法则确定。解：(1)250°是第三象限角，cos250°0(2)是第四象限角，sin（）0(3)tan（672°）tan（48°2×360°）tan48°而48°是第一象限角，tan（672°）0(4)tantan（2）tan而是第四象限角，tan0.【名师指引】三角函数值的符号由角所在的象限确定题型2:由三角函数的定义求值例6已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为34（且均不为零），求2sin+cos的值【解题思路】直接根据三角函数的定义求值.解析:若角终边过点，则；若角终边过点，则；若角终边过点，则；若角终边过点，则【名师指引】若点是角终边上异于原点的一点，求角的三角函数值只需用定义即可.【新题导练】yPQox6.(佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)如图，角的顶点原点O，始边在y轴的正半轴、终边经过点.角的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且，则的值为A B C D 解析：D7.(2008·深圳市高三年级第一次调研考试)若，则点位于（ ）A.第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析直接根据正弦函数、余弦函数在第四象限的符号判定.选 D抢 分 频 道 基础巩固训练1已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正角是（ ）A、 B、 C、 D、解析D 角在第四象限且2若是第二象限的角，且，则是（ ）A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角解析C 当时，在第一象限；当时，在第三象限；而，在第三象限；3已知角的终边与函数决定的函数图象重合，求= 解析:在角的终边上取点故=4.（湛江市实验中学2009届高三第四次月考）已知，且角在第一象限，那么2在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：B，故2在第二象限.5.(2008广东省佛山市普通高中高三教学质量检测)OxyBAC如图A、B是单位圆O上的点，且在第二象限. C是圆与轴正半轴的交点，A点的坐标为，AOB为正三角形.（1）求； （2）求. 解析（1）因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知（2）因为三角形AOB为正三角形，所以， 所以= =. 点评该考题主要考查三角函数定义与和差公式.综合拔高训练6.在扇形中，弧的长为，求此扇形内切圆的面积解：设扇形所在圆半径为，此扇形内切圆的半径为，如图所示，则有，由此可得则内切圆的面积7圆弧长度等于其内接正三角形的边长，求其圆心角的弧度数.解析： 如右图所示，设正三角形的边长为,半径为,取的中点连接则,在中,圆心角弧度数为8 xyOAB如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为（1）求的值； （2）求的值。【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查运算求解能力。由条件得为锐角，（1）（2）为锐角，第2讲同角三角函数的基本关系与三角函数的诱导公式知识梳理 1.同角三角函数的基本关系式的记忆法则（1）对角线上对应的函数互为倒数；（2）每一个顶点对应函数等于相邻顶点对应函数的乘积；（3）阴影三角形中，上面二个顶点对应的函数的平方和等 于下面一个顶点的平方。例如：1 2用同角三角函数的基本关系式求值时应注意：注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：， ， 等。3. 关于诱导公式（1）诱导公式()角 函数正弦余弦记忆口诀函数名不变符号看象限函数名不变符号看象限（2）求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值(3)诱导公式解决常见题型（A）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（B）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.重 难 点 突 破 1.重点：掌握利用同角三角函数的关系式和诱导公式三角式化简，