相关性、最小二乘估计、回归分析与独立性检验

第三节 相关性、最小二乘估计、回归分析与 独立性检验,三年9考 高考指数: 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（不记公式）. 3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用. 4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.,1.线性回归方程的建立及应用和独立性检验的应用是考查重点； 2.题型以选择题和填空题为主，主要是求线性回归方程的系数或利用线性回归方程进行预测，在给出临界值的情况下判断两个变量是否有关.,1.相关性 (1)散点图：在考虑两个量的关系时，为了对_之间的关系 有一个大致的了解，人们通常将_的点描出来， 这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间 的散点图. (2)曲线拟合：从散点图上可以看出，如果变量之间_ _，这些点会有一个_的大致趋势，这种趋势通常可 以用一条_来近似，这种近似的过程称为曲线拟合.,变量所对应,存在着某,种关系,光滑的曲线,变量,集中,(3)线性相关：若在两个变量x和y的散点图中，所有点看上去 都在_附近波动，则称变量间是线性相关的.此时， 我们可以用_来近似. (4)非线性相关：若散点图上所有点看上去都在_ _附近波动，则称此相关为非线性相关.此时， 可以用_来拟合. (5)不相关：如果所有的点在散点图中_，则 称变量间是不相关的.,一条直线,一条直线,某条曲线,(不是一条直线),一条曲线,没有显示任何关系,【即时应用】 (1)思考：相关关系与函数关系有什么异同点？ 提示:相同点：两者均是指两个变量的关系. 不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.,(2)判断下列各关系是否是相关关系.(请在括号内填“是”或“否”) 路程与时间、速度的关系； ( ) 加速度与力的关系； ( ) 产品成本与产量的关系； ( ) 圆周长与圆面积的关系； ( ) 广告费支出与销售额的关系. ( ),【解析】是确定的函数关系，成本与产量，广告费支出与销售额是相关关系. 答案：否 否 是 否 是,2.回归直线方程与相关系数 (1)最小二乘法 如果有n个点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度： _ 使得上式达到_的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.,y1-(a+bx1)2+y2-(a+bx2)2+yn-(a+bxn)2.,最小值,(2)线性回归方程 假设样本点为(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),则 直线方程y=a+bx称为线性回归方程，a、b是线性回归方程的 _.,系数,(3)相关系数r ,当r0时，称两个变量_. 当r0时，称两个变量_. 当r=0时，称两个变量_. r的绝对值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度越 高；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度 越低.,正相关,负相关,线性不相关,【即时应用】 (1)由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)得到回 归直线方程yabx，判断下面说法是否正确.(请在括号内打 “”或“×”) 任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程； ( ) 直线yabx至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一个点； ( ),直线yabx的斜率 ( ) 直线yabx和各点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的偏 差 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差 中最小的. ( ) (2)已知回归方程y4.4x838.19，则可估计x与y的增长速度 之比约为_.,【解析】(1)任何一组观测值都能利用公式得到直线方程，但 这个方程可能无意义，不正确；回归直线方程ybxa经过 样本点的中心 可能不经过(x1，y1)，(x2，y2)， (xn，yn)中的任何一点，这些点分布在这条直线附近，不正 确；正确；正确 (2)x与y的增长速度之比即约为回归方程的斜率的倒数 答案：(1)× × (2),3.独立性检验 (1)2×2列联表 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1， A2= ；变量B：B1，B2= 通过观察得到如表所示的数据：,a,b,a+b,c,d,c+d,a+c,b+d,n=a+b+c+d,(2)独立性判断方法 选取统计量_，用它的大小来检验 变量之间是否独立. 当2_时，没有充分的证据判定变量A,B有关联， 可以认为变量A，B是没有关联的； 当2_时，有90%的把握判定变量A,B有关联; 当2_时，有95%的把握判定变量A,B有关联; 当2_时，有99%的把握判定变量A,B有关联.,2.706,2.706,3.841,6.635,【即时应用】 (1)下面是一个2×2列联表 则表中a、b处的值分别为_.,(2)在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算2的观测值为27.63,根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是_的(填“有关”或“无关”). 【解析】(1)a+21=73,a=52. 又a+2=b,b=54. (2)27.636.635, 有99%的把握认为“打鼾与患心脏病有关”. 答案：(1)52、54 (2)有关,相关关系的判断 【方法点睛】利用散点图判断相关关系的技巧 利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法： (1)在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；,(2)如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系； (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.,【例1】关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数据： 判断它们是否有相关关系.,【解题指南】判断有无相关关系，一种常用的简便方法就是绘制散点图. 【规范解答】本题涉及两个变量：年龄与脂肪含量，可以以年龄为自变量，考查脂肪含量的变化趋势，分析相关关系通常借助散点图.,以年龄作为x轴，脂肪含量作为y轴，可得相应的散点图如图所示. 由散点图可知，两者之间具有相关关系.,【反思·感悟】粗略判断相关性，可以观察一个变量随另一个变量变化而变化的情况.画出散点图能够更直观的判断是否相关，相关时是正相关还是负相关.,【变式训练】5个学生的数学和物理成绩如下表： 画出散点图，并判断它们是否有相关关系,【解析】把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点(xi，yi)(i1,2，5)，作出散点图如图 从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大，即它们正相关.,线性回归方程及其应用 【方法点睛】求样本数据的线性回归方程的步骤 第一步，计算平均数 第二步，求和 第三步，计算 第四步，写出回归方程y=bx+a.,【提醒】对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.,【例2】(1)(2011·广东高考)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm. (2)测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下：,画出散点图，说明变量y与x的相关性； 如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程. (已知： 4 490.34, =44 794, =44 941.93, =44 842.4),【解题指南】(1)求出回归方程，代入相关数据求得； (2)根据散点图判断相关性. 根据已知数据和提示的公式数据求解,写出线性回归方程. 【规范解答】(1)由题设知：设相对的父亲的身高为x，相对的儿子的身高为y，它们对应的取值如表所示 于是有 a=176-173×1=3,得回归方程为y=x+3,所以当x=182时，y=185. 答案：185,(2)散点图如图所示: 观察散点图中点的分布可以看出:这些点在一条直线的附近分布，所以变量y与x之间具有线性相关关系.,设回归方程为y=bx+a. 由 =67.01-0.464 6×66.835.974 7. 得所求的线性回归方程为y=0.464 6x+35.974 7.,【互动探究】若本例(2)题干不变,如果父亲的身高为73英寸，试估计儿子的身高. 【解析】由本例(2)可知回归方程为y=0.464 6x+35.974 7. 当x=73时，y=0.464 6×73+35.974 769.9(英寸). 所以当父亲身高为73英寸时，儿子的身高约为69.9英寸.,【反思·感悟】求线性回归方程，主要是利用公式，求出回归系数b，a，求解过程中注意计算的准确性和简便性.利用回归方程预报，就是求函数值.,【变式训练】一般来说，一个人脚越长，他的身高就越高现对10名成年人的脚长x与身高y进行测量，得如下数据(单位：cm)：,作出散点图后，发现散点在一条直线附近经计算得到一些数据： 某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长26.5 cm，请你估计案发嫌疑人的身高为_cm.,【解析】由已知 故y=7x. 当x=26.5时，y=185.5. 答案：185.5,独立性检验的基本思想及其应用 【方法点睛】利用统计量2进行独立性检验的步骤 (1)根据数据列出2×2列联表； (2)根据公式计算2的值； (3)比较2与临界值的大小关系，作出统计推断.,【例3】某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件根据所给数据： (1)写出2×2列联表； (2)判断产品是否合格与设备改造是否有关 【解题指南】列表后利用2的值进行检验.,【规范解答】(1)由已知数据得 (2) 12.38. 由于12.386.635，所以有99%以上的把握认为产品是否合格与设备改造有关,【反思·感悟】准确计算2的值是关键.能有多大的把握认为两个变量有关，应熟悉常用的几个临界值.,【变式训练】为研究是否喜欢饮酒与性别之间的关系，在某地区随机抽取290人，得到如下列联表： 利用列联表的独立性检验判断是否喜