2020版人教A版数学选修1-1同步配套练习：1.1.2　四种命题　1.1.3　四种命题间的相互关系 Word版含解析

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课时过关·能力提升一、基础巩固1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.若一个数是负数,则它的平方不是正数B.若一个数的平方是正数,则它是负数C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数解析:一个命题的逆命题就是把原命题的条件和结论互换得到的命题.答案:B2.命题“如果xa2+b2,那么x2ab”的逆否命题是()A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x2ab,那么xa2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果xa2+b2,那么x<2ab答案:C3.命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的等价命题是()A.若q不正确,则p不正确B.若q不正确,则p正确C.若p正确,则q不正确D.若p正确,则q正确解析:由四种命题的相互关系可知,原命题的逆命题和否命题互为逆否命题,为等价关系.故只需写出原命题的否命题即可.答案:D4.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数解析:否命题是对原命题的条件和结论都进行否定.答案:B5.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则x|ax2+bx+c<0”的逆命题、否命题、逆否命题中,结论成立的有()A.都真B.都假C.否命题真D.逆否命题真解析:原命题为真,而其否命题为“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,则x|ax2+bx+c<0=”,为假命题.答案:D6.下列四个命题:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;“若x-3,则x2-x-6>0”的否命题;“若x>2 017,则x>0”的逆命题.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:B7.命题“若-1<x<1,则x2<1”的逆否命题是. 答案:若x21,则x-1或x18.命题:“若b-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题有个. 解析:当b-1时,=4b2-4(b2+b)=-4b>0,所以原命题为真命题;由0,得b0,故其逆命题为假命题.所以这4个命题中真命题有2个.答案:29.给出以下命题:“若x2+y20,则x,y不全为零”的否命题;“正多边形都相似”的逆命题;“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.其中真命题的序号是. 解析:否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”.真命题.逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”.假命题.=1+4m,当m>0时,>0,x2+x-m=0有实根,即原命题为真.逆否命题为真.答案:10.证明:若p3+q3=2,则p+q2.分析:此题不易从已知推导出结论,我们考虑是否能够比较容易地证明命题的逆否命题:若p+q>2,则p3+q32.证明:原命题的逆否命题为:若p+q>2,则p3+q32.由p+q>2,得q>2-p,根据幂函数y=x3的单调性得q3>(2-p)3,即q3>8-12p+6p2-p3.p3+q3>8-12p+6p2=6(p-1)2+132,所以p3+q3>2.因此p3+q32.这说明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题.二、能力提升1.下列说法正确的是()A.若一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价C.“若a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b20”D.若一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真解析:选项A中逆命题与逆否命题互为否命题,真假性没有关系;选项B中两者等价;选项C中逆否命题应是“若a,b不全为0,则a2+b20”;选项D正确.答案:D2.互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性.我们用“”表示同真或同假,把它叫做“连连看”.下面让我们领略“连连看”的风采:已知命题p的否命题是r,命题r的逆命题为s,命题p的逆命题是t,则下列同真同假的“连连看”中,正确的一组是()A.pr,stB.pt,srC.ps,rtD.pr,sr解析:因为命题p的否命题是r,命题r的逆命题为s,所以命题p与s互为逆否命题,故有ps;又由于命题p的否命题是r,命题p的逆命题是t,故命题r,t也是互为逆否命题,即rt.答案:C3.已知a,b,cR,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c23”的否命题的等价命题是()A.若a+b+c3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c3,则a2+b2+c23D.若a2+b2+c23,则a+b+c=3解析:原命题的否命题的等价命题是原命题的逆命题.答案:D4.在空间中,若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线;若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是.(填序号) 解析:的逆命题是:若四点中任意三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任意三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以的逆命题不是真命题.的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以的逆命题是真命题.答案:5.设有两个命题:关于x的不等式mx2+10的解集是R;函数f(x)=logmx是减函数(m>0,且m1).若这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是. 答案:m>16.给定下列命题:若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;“矩形的对角相等”的逆命题;“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是. 解析:当k>0时,=4+4k>0,故方程有实根;对角相等的四边形不一定是矩形,故是假命题;因为逆命题“若x,y中至少有一个为零,则xy=0”是真命题,所以原命题的否命题是真命题.答案:7.判断下列命题的真假:(1)“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题;(3)“梯形不是平行四边形”的逆否命题;(4)“若x=3,则x2-5x+6=0”的逆命题.解:(1)“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题.(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题.(3)因为“梯形不是平行四边形”是真命题,所以其逆否命题也是真命题.(4)“若x=3,则x2-5x+6=0”的逆命题是“若x2-5x+6=0,则x=3”,是假命题.8.已知下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,若至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围.分析:三个方程的根有如下四种情况:(1)三个方程都无实根;(2)只有一个方程有实根(3)只有两个方程有实根(4)三个方程都有实根至少有一个方程有实根.若按分类讨论,则需分三种情况,且(2)(3)又分多种情况,显然运算量太大,若注意到(2)(3)(4)可合并为至少有一个方程有实根,利用“补集”的思想,问题即可等价转化.解:假设三个方程都无实根,则有1=(4a)2+4(4a-3)<0,2=(a-1)2-4a2<0,3=(2a)2+8a<0,即-32<a<12,a>13或a<-1,-2<a<0. 解得-32<a<-1.因此,若三个方程中至少有一个方程有实根,则a的取值范围是a-1或a-32.