2018届江西省赣州市高三上学期期末考试数学理卷（理数含答案）

14赣州市2017-2018学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.复数（为虚数单位）的虚部是（ ）A B C D3.已知函数，则（ ）A 0 B 1 C D 24.若函数的部分图像如图所示，则和的取值可以为（ ）A B C. D5.设实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A2 B C. 5 D66.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）A B C. D7.在中，内角的对边分别为，满足，且，则的最小值为（ ）A 2 B C. 3 D8. 的展开式中的系数为（ ）A -160 B320 C. 480 D6409.如图，格纸上小正方形的边长为1，如图所示画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A B3 C. D10.双曲线的左右顶点分别为，右支上存在点满足（其中分别为直线的倾斜角），则（ ）A B C. D11.已知圆交轴正半轴于点，在圆内随机取一点，则成立的概率为（ ）A B C. D12.命题：关于的不等式（为自然对数的底数）的一切恒成立；命题：；那么命题是命题的（ ）A充要条件 B充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D既不充分也不必要条件第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则实数 14.已知，其中为锐角，则的值为 15.若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为 16.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两个不同的点，过分别作抛物线的切线且相交于点，则的面积的最小值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和，满足，.（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前项和.18. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在棱上，且，.（1）求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.19. 计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去0年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不足120的年份有30年，不低于120且不足160的年份有8年，不低于160的年份有2年，将年入流量在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量的限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为500万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损1500万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由.20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率，过点的直线与椭圆交于两点（异于），当直线的斜率不存在时，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.21. 已知函数在点处的切线与直线平行，且函数有两个零点.（1）求实数的值和实数的取值范围；（2）记函数的两个零点为，求证：（其中为自然对数的底数）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线（为参数），曲线（为参数）.（1）求直线与曲线的普通方程；（2）已知点，若直线与曲线相交于两点（点在点的上方），求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图像与直线所围成封闭图形的面积为8，求实数的值.20172018赣州市期末考试试题（理）参考答案一选择题题号123456789101112答案ADBCDCABBDAC12解析：由题设可记，则，显然在上单调递增，又，故存在，使得，当，当，所以，因为，所以，记，知，故，故得，又，故选C二填空题13； 14； 15； 16；16解析：点在抛物线的准线上，设直线，则联立进而得：易得以为切点的方程为：，处的切线方程为：解得： 当时.三解答题17解：（1）由当时，得当时，得：即且故数列是首项为，公比为等比数列（2）由（1）知：故18解：（1）(法一)连接交于点，连接由分别是棱中点，故点为的重心在中，有 ，又平面 平面 （法二）取的中点，连接由是棱的中点，为的中点， 为的中位线，即平面又为棱的中点，为的中点由，由，且为直三棱柱，进而得 ，即平面 又 平面平面 又平面平面 （2）由为直三棱柱平面，取的中点，连接是棱的中点，即平面 为等边三角形为的中点且 故以为坐标原点，以射线分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系则， 设平面的法向量为则：，不妨取，则 设平面的法向量为则：，不妨取，则 记二面角为故二面角的余弦值为19解：（1）依题意：，. 所以年入流量不低于120的概率为 由二项分布，在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率为：（2）记水电站的总利润为（单位：万元）若安装2台发电机的情形：350010000 若安装3台发电机的情形：2000850015000 因为，故应安装2台发电机 20解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为，由题意得：所以椭圆的方程为：(2)设直线的方程为，联立由是上方程的两根可知：直线的方程为：直线的方程为：得： 把代入得： 即，故点恒在定直线上 （由对称性可知，若存在定直线，则该直线应垂直轴，故也可由特殊位置当直线斜率不存在时，探究得出该直线方程，给2分）21解：（1）由，得：由进而得，故当时，；当时，；所以函数在单调递减，在单调递增，要使函数在有两个零点，则 且（用分离参数，转化为数形结合，可对应给分）（2）由（1），我们不妨设 欲证，即证又函数在单调递增，即证 由题设，从而只须证 记函数， 则，记，得 因为，所以恒成立，即在上单调递增，又 所以在上恒成立，即在单调递减 所以当时，即 从而得 上恒成立，即在单调调递 所以当时，即从而得 22解：（1）由直线已知直线（为参数），消去参数得：曲线（为参数）消去参数得：.（2）设将直线的参数方程代入得： 由韦达定理可得： 结合图像可知，由椭圆的定义知： . 23解：（1）由得等价于即或或即或故不等式的解集为；（用绝对值几何意义解同样给分）（2）由得： 由题意可得：设直线与交于两点不妨设：所以封闭图形面积为：即：或（舍去）故.14