2019年数学新同步湘教版必修2第5章 5.4 复数的几何表示

54复数的几何表示读教材·填要点1复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)一一对应复平面内的点P(a，b)；(2)复数zabi(a，bR)一一对应平面向量(a，b)3复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫作复数z的模，记作|z|，且 |z|.4共轭复数(1)定义及记忆：对于任意复数zabi(a，bR)，将复数abi称为原来的复数z的共轭复数，记作：.(2)性质：z；复平面上两点P，Q关于x轴对称它们所代表的复数相互共轭5复数加减法的几何意义如图：设复数z1，z2对应向量分别为，四边形OPSQ为平行四边形，则与z1z2对应的向量是 ，与z1z2对应的向量是.小问题·大思维1平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示：向量的起点在原点2若复数(a1)ai(aR)在复平面内对应的点P在第二象限，则a的取值范围是什么？提示：由题意知即0<a<1.所以a的取值范围是(0,1)3若z1与z2互为共轭复数，那么|z1|与|z2|之间有什么关系？提示：设z1abi，则z2abi，故|z1|z2|.4什么数的共轭复数是它本身？提示：实数的共扼复数是它本身5从复数减法的几何意义理解：|z1z2|表示什么？提示：表示P1与P2两点间的距离复数几何意义的应用 求实数a分别取何值时，复数z(a22a15)i(aR)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方自主解答(1)点Z在复平面的第二象限内，则解得a3.(2)点Z在x轴上方，则即(a3)(a5)0，解得a5或a3.探究复数z对应复平面内的点的位置如果Z是复平面内表示复数zabi(a，bR)的点，则(1)当a0，b0时，点Z位于第一象限；当a0，b0时，点Z位于第二象限；当a0，b0时，点Z位于第三象限；当a0，b0时，点Z位于第四象限(2)当a0时，点Z在虚轴上；当b0时，点Z在实轴上(3)当b0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b0时，点Z位于实轴下面的半平面内1在复平面内，O是原点，若向量对应的复数z的实部为3，且|3，如果点A关于原点的对称点为点B，求向量对应的复数解：根据题意设复数z3bi，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得(3，b)，已知|3，即3，解得b0，故z3，点A的坐标为(3,0)因此，点A关于原点的对称点为B(3,0)，所以向量对应的复数为z3.复数模的求法 (1)若复数z对应的点在直线y2x上，且|z|，则复数z()A12iB12iC±1±2i D12i或12i(2)设复数z1a2i，z22i，且|z1|z2|，则实数a的取值范围是()A(，1)(1，)B(1,1)C(1，)D(0，)自主解答(1)依题意可设复数za2ai(aR)，由|z|得 ，解得a±1，故z12i或z12i.(2)因为|z1| ，|z2|，所以，即a245，所以a21，即1a1.答案(1)D(2)B计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小2已知复数z123i，z2a2i，若|z1z2|z1|，求实数a的取值范围解：由条件可知z1z2(4a)2i.又|z1z2|z1|，即 ，解得1a7.所以实数a的取值范围是(1,7)共轭复数的应用 设zC，为z的共轭复数，若z·iz，求z.自主解答设zabi(a，bR)，则abi(a，bR)3i，(abi)(abi)i(abi)3i.解得或z1i或z12i.保持例题条件不变，求的值解：当z1i时，1i，i；当z12i时，12i，i.i或i.此类题的常规思路为设zabi(a，bR)，则abi；代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解3已知zC，为z的共轭复数，若z·3i13i，求z.解：设zabi(a，bR)，则abi，(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.复数加减运算的几何意义 已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，求点C，D对应的复数自主解答向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，向量对应的复数为(3i)(12i)23i.又，点C对应的复数为(2i)(23i)42i.，向量对应的复数为3i，即(3，1)设D(x，y)，则(x2，y1)(3，1)，解得点D对应的复数为5.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数注意向量对应的复数是zBzA(终点对应的复数减去起点对应的复数)4已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是32i与14i，两对角线AC与BD相交于O点(1)求对应的复数；(2)求对应的复数解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以，于是，而(14i)(32i)22i，即对应的复数是22i.(2)由于，而(32i)(22i)5，所以对应的复数是5.已知z0xyi(x，yR)，z(x3)(y2)i，且|z0|2，求复数z对应的点的轨迹巧思设出复数zabi(a，bR)，根据复数相等寻找出a，b与x，y之间的关系，然后利用|z0|2这一条件求出a，b的等量关系妙解设zabi(a，bR)，则即又z0xyi(x，yR)且|z0|2，x2y24.(a3)2(b2)24.复数z对应的点的轨迹是以(3，2) 为圆心，2为半径的圆1(北京高考)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1)B(，1)C(1，) D(1，)解析：因为z(1i)(ai)a1(1a)i，所以它在复平面内对应的点为(a1,1a)，又此点在第二象限，所以解得a1.答案：B2(山东高考)已知aR，i是虚数单位若za i，z·4，则a()A1或1 B.或C D.解析：法一：由题意可知ai，z·(ai)(ai)a234，故a1或1.法二：z·|z|2a234，故a1或1.答案：A3设zC，|z|2，则点z表示的图形是()A直线x2的右半平面 B半径为2的圆面C直线x2的左半平面 D半径为2的圆解析：由复数模的几何意义知：点z到原点的距离小于或等于2，点z的集合为以原点为圆心，以2为半径的圆面答案：B4复数zx2(3x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是_解析：复数z在复平面内对应的点在第四象限，解得x>3.答案：(3，)5复数zsinicos，则|z|_.解析：zi，|z| .答案：6在复平面上，复数i,1,42i的对应的点分别是A，B，C，求平行四边形ABCD的D点所对应的复数解：法一：由已知A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则AC的中点E，由平行四边形的性质知E也是BD的中点，设D(x，y)，则即D(3,3)，D点对应的复数为33i.法二：由已知：(0,1)，(1,0)，(4,2)(1,1)，(3,2)(2,3)(3,3)即点D对应的复数为33i.一、选择题1.若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()AEBFCG DH解析：由题图可得z3i，所以2i，则其在复平面上对应的点为H(2，1)答案：D2已知0a2，复数zai(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A(1，) B(1，)C(1,3) D(1,5)解析：|z|，0a2，1a215，|z|(1，)答案：B3设复数z满足条件z|z|2i，那么z等于()Ai B.iCi D.i解析：法一：设zxyi(x，yR)，则xyi2i.解得zi.法二：|z|R，由复数相等的充要条件可知：若等式z|z|2i成立，则必有虚部为1，故可设zxi(xR)，代入原等式有：x2，解得x，所以zi.答案：D4若x，yR，i为虚数单位，且xy(xy)i3i，则复数xyi在复平面内所对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：xy(xy)i3i，解得复数12i所对应的点在第一象限答案：A二、填空题5在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，则实数m的值为_解析：由表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，得m32，解得m9.答案：96设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_解析：设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi34i，解得或|z|.答案：7复数z1cos isin (<<2)的模的取值范围为_解析：|z|，<<2，1<cos <1.0<22cos <4.|z|(0,2)答案：(0,2)8已知复