2019年数学新同步湘教版必修2第4章 4.1 导数概念

41导数概念读教材·填要点1物体在任意时刻的瞬时速度若物体的运动方程为sf(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)在d趋于0时的极限2函数yf(x)的曲线上任一点处的切线斜率函数yf(x)的曲线上任一点P(u，f(u)处的切线的斜率k(u)，就是过P(u，f(u)，Q(ud，f(ud)两点割线PQ的斜率k(u，d)在d趋于0时的极限3导数的概念(1)函数yf(x)在点xx0处的导数：设函数yf(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值在d趋于0时(d0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f(x)在xx0处的导数或微商，记作f(x0)，简述为：f(x0)(d0)(2)导函数：当x0为f(x)的定义区间中的任意一点，即为x，而f(x)也是x的函数，叫作f(x)的导函数或一阶导数，若f(x)在x处又可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f(x)，类似地，可以定义三阶导数f(x)等等小问题·大思维1若函数f(x)在x1，x2内差商为0，能否说明函数f(x)没有变化？提示：不能说明理由：函数的差商只能粗略地描述函数的变化趋势，步长d取值越小，越能准确地体现函数的变化情况在某些情况下，求出的差商为0，并不一定说明函数没有发生变化如函数f(x)x2在2,2上的差商为0，但f(x)的图象在2,2上先减后增2.函数yf(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f(x1)，f(x2)和f(x3)的大小吗？提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA>kB，在C处的切线斜率小于零，所以f(x1)>f(x2)>f(x3)3f(x0)与f(x)的区别是什么？提示：f(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，d无关；f(x0)表示的是函数f(x)在xx0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与d无关求函数在某一点处的导数 求函数f(x)2x24x在x3处的导数自主解答法一：f(3d)f(3)2(3d)24(3d)(2×324×3)12d2d24d2d216d，2d16.d0时，f(3)16.法二：4x2d44x4(d0)，即f(x)4x4，f(3)4×3416.在本例中，若函数在xx0处的导数是8，求x0的值解：根据导数的定义，4x2d44x4(d0)，f(x)4x4.令f(x0)4x048，解得x01.根据导数的定义，求函数yf(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的差分f(x0d)f(x0)；(2)求差商；(3)取极限，d0得导数f(x0)1求函数f(x)x在x1处的导数解：f(1d)f(1)(1d)d，1，d0时，f(1)112.求瞬时速度 一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，且yf(t)3t.求函数yf(t)在t2处的导数f(2)，并解释它的实际意义自主解答根据导数的定义，3，f(2)3.f(2)的意义是：水流在2 s时的瞬时流量为3 m3/s，即如果保持这一速度，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3.求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系ss(t)；(2)求时间改变量d，位移改变量ss(t0d)s(t0)；(3)求平均速度；(4)求瞬时速度，vli .2一辆汽车按规律s2t23作直线运动，求这辆车在t2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m.)解：设这辆车在t2附近的时间步长为d，则位移的差分2(2d)23(2×223)8d2d2，差商82df(2)8(d0)所以这辆车在t2时的瞬时速度为8 m/s.确定或应用曲线的切线方程 抛物线yx2在点P处的切线与直线4xy20平行，求P点的坐标及切线 方程自主解答设P点坐标为(x0，y0)，2xdy2x(d0)，切线的斜率为k2x0.又由切线与直线4xy20平行，2x04，x02.P(2，y0)在抛物线yx2上，y04.点P的坐标为(2,4)切线方程为y44(x2)即4xy40.若将本例中的“平行”改为“垂直”，其它条件不变，如何求解？解：设P点坐标为(x0，y0)，2xd2x(d0)，y2x，故切线斜率为k2x0.又切线与直线4xy20垂直，2x0，即x0.y0x.P点坐标为.切线方程为y，即16x64y10.利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数yf(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(xx0)(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程3已知曲线C：yx3.(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？解：(1)将x2代入曲线C的方程得y4，切点P(2,4)f(2d)f(2)(2d)3×234d2d2d3，42dd2，当d趋于0时，趋于4.曲线在点P(2,4)处的切线的斜率为k4，切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)由可得(x2)2(x4)0.解得x12，x24.从而求得公共点为P(2,4)或M(4，20)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(4，20).设P为曲线C：f(x)x22x3上的一点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，求点P横坐标的取值范围巧思曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，即切线的斜率k0,1，故曲线C在P点处的导数的取值范围为0,1妙解设点P(x0，y0)，则2x0d22x02(d0)f(x0)2x02.，0tan 1.即02x021.解得1x0.点P横坐标的取值范围是.1函数yx2在x1处的导数为()A2xB2dC2 D1解析：yx2在x1处的导数为f(1)，则2d2(d0)，f(1)2.答案：C2一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在 3秒末的瞬时速度是()A7 米/秒 B6 米/秒C5 米/秒 D8 米/秒解析：5d5(d0)，s(3)5.答案：C3若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为2xy10，则()Af(x0)>0 Bf(x0)<0Cf(x0)0 Df(x0)不存在解析：由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以选A.答案：A4设f(x)ax4，若f(1)2，则a_.解析：f(x)ax4，f(1)a(d0)又f(1)2，a2.答案：25.函数f(x)的图象如图所示，试根据函数图象判断0，f(1)，f(3)，的大小关系为_解析：设x1，x3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示则kAB，f(3)kBQ，f(1)kAT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQ<kAB<kAT，0<f(3)<<f(1)答案：0<f(3)<<f(1)6一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移：m，时间：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度；(3)求t0到t2时的平均速度解：(1)初速度v03d3(d0)即物体的初速度为3 m/s.(2)vd11(d0)即此物体在t2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反(3)1(m/s)即t0到t2时的平均速度为1 m/s.一、选择题1.已知yf(x)的图象如图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)>f(xB)Bf(xA)<f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定解析：由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f(xA)<f(xB)，选B.答案：B2下列说法正确的是()A曲线的切线和曲线有且只有一个交点B过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处无切线D若yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)不一定存在解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其它的公共点，故A、B 错误；f(x0)不存在，曲线yf(x)在点(x0，f(x0)的切线也可能存在，此时切线方程为 xx0，故C错误答案：D3已知曲线y2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为()A4B16C8 D2解析：曲线在点A处的切线的斜率就是函数y2x2在x2处的导数4x(d0)f(x)4x.则f(2)8.答案：C4已知曲线C：yx3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为()A(2，8)B(2,8)C(1，1)或(1,1) D解析：设P(x0，y0)，则3x(d0)，f(x0)3x.令3x3，解得x01或x01.P(1,1)或(1，1)答案：C二、填空题5如果质点M按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为_解析：差商183d18(d0)s(3)18.答案：186一物体的运动方程为s7t213t8，且在tt0时的瞬时速度为1，则t0_.解析：差分7(t0d)213(t0d)87t13t0814t0·d13d7d2.差商14t0137d14t013(d0)s(t0)14t0131.t01.答案：17已知函数yf(