【2017年整理】概率论讲义 第三章 多维随机变量及其分布

40第三章 多维随机变量及其分布在很多随机现象中, 只用一个随机变量来描述往往不够, 而要涉及到多个随机变量. 如炮弹命中点的位置要用一对随机变量(横坐标与纵坐标 )来描述, 正弦交流电压要用振幅、频率和相位三个随机变量来描述等等. 要研究这些随机变量之间的联系, 就应当同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律多维分布. 本章将介绍有关这方面的内容, 为简明起见 , 主要介绍二维情形, 有关内容可以类推到多于二维的情形.第一节 二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S. 设 X、Y 是定义在 S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X, Y)称为二维随机向量或二维随机变量.一般地, (X, Y)的性质不仅与 X 有关, 与 Y 有关, 而且还依赖于 X、Y 的相互关系, 因此必须把(X, Y)作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y)的分布函数的概念.定义 设(X , Y)为二维随机变量, 对于任意实数 x、y , 二元函数F(x, y) = P(X x)( Y y)= PX x, Y y称为二维随机变量(X, Y )的分布函数, 或称为随机变量 X 和 y 的联合分布函数.分布函数 F(x, y)表示事件(X x)与事件(Y y)同时发生的概率. 如果把(X, Y)看成平面上具有随机坐标(X, Y)的点, 则分布函数 F(x, y)在(x, y)处的函数值就是随机点(X, Y)落在平面上的以(x, y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.由上面的几何解释, 容易得到随机点(X, Y )落在矩形区域x 1 2)维随机变量的情形. 一般地, 设 E 是一个随机试验, 它的样本空间为 S, 设 X1、X 2、X n 是定义在 S 上的随机变量 , 则由它们构成的一个 n 维向量(X 1, X2, , Xn)称为 n 维随机向量或 n 维随机变量.对任意 n 个实数 x1、x 2、x n, n 元函数 F(x1, x2, , xn) = PX1 x1, X2 x2, , Xn xn称为 n 维随机变量( X1, X2, , Xn)的分布函数或随机变量(X 1, X2, , Xn)的联合分布函数, 它具有与二元分布函数类似的性质.第二节 边 缘 分 布设(X, Y)是二维随机变量, 其分布函数为 F(x, y), 事件X x即为 X x, Y 0, 2 > 0, 1 < < 1. 我们称( X, Y)为服从参数为1、 2、 1、 2、 的二维正态分布 , 试求二维正态随机变量的边缘概率密度 . 解: 令 m = 2211 )()()( yxx 2121122 )()()()( xxxyy.212 ()x所以, =dyffX),()(dyem)1(221.exx 212)1()(212 令 , 则 , 从而,1yt dtdy2.22)(2 11212 teexy44所以, ( ). 同理可得, ( ).21)()(xXexf x 2)(1)(yYeyf y表明, , .)21N),2Y此例说明, 二维正态随机变量(X, Y)中的 X、Y 都服从正态分布 , 并且与参数 无关. 所以对于确定的1、 2、 1、 2 而取不同的 , 对应了不同的二维正态分布, 但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布. 因此, 仅由关于 X 和 Y 的边缘概率密度( 分布), 一般不能确定 X 和 Y 的联合概率密度( 分布).第四节 相互独立的随机变量我们知道, 两事件 A、B 相互独立的充要条件是 P(AB) = P(A)P(B)由此我们引进随机变量相互独立的定义.定义 设 F(x, y)及 FX (x)、F Y (y)分别是二维随机变量( X, Y)的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x、y, 有 PX x, Y y = PX x PY y, 即 F(x, y) = FX (x)FY (y) (1)则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的.可见, 在随机变量 X 和 Y 相互独立的情况下, 由关于 X 和 Y 的边缘分布函数就唯一地确定(X, Y)的联合分布函数, 而且还可推得 /xPyxyP ,lim0xxPyx ),(),(lim0xFxFy= FY (y) = PY y.)()(lim0 YXYXx FF )(liFXX这就是说在 X 和 Y 相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分布.一、离散型设二维离散型随机变量(X, Y )的联合分布律为 PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ),(X, Y)关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为, i = 1, 2, ; , j = 1, 2, .ip1jijipxPjp1ij则 X 和 Y 相互独立的充要条件是PX = xi, Y = yj = PX = xi PY = yj, 即 pij = (2)ij例 1 设(X, Y )的联合分布律为证明: X 和 Y 相互独立 .例 2 设 X 和 Y 相互独立, 且分别具有分布律X 2 1 0 21Y 211 3pk 433pk 4试写出(X , Y)的联合分布律.二、连续型设二维连续型随机变量(X, Y)的联合概率密度为 f (x, y), 关于 X 和 Y 的边缘概率密度为 fX (x)和 fY (y), 则 X 和 Y 相互独立的充要条件是等式 f (x, y) = fX (x) fY (y) (3)几乎处处成立.例 3 设(X, Y )服从二维正态分布, 即其联合概率密度为45. 22121221 )()()()1(exp2),( yxxyxf yx证明: X 和 Y 相互独立的充要条件是 = 0.例 4 若(X, Y )的联合概率密度为 ,00),()(其 它 yxeyxfy则 X 和 Y 相互独立.证: 显然 故有 f (x, y) = fX (x) fY (y). 从而 X 和 Y 相互独,0)(其 它xexfX,0)(其 它eyfyY立.例 5 设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量, X 在0, 0.2上服从均匀分布, Y 的概率密度为,05)(其 它yexfY试求: (1) X 与 Y 的联合概率密度; (2) PY X.解: (1) 由已知条件, 得 从而得 X 与 Y 的联合概率密度为,02.5)(其 它xfX ., 0,205其 它 yxeyfy(2) PY X= PY X , 0),(yxdx积分区域如图, 化成二次积分后得.2.013679),(ef以上关于二维随机变量的一些概念, 很容易推广到 n 维随机变量的情形.设 n 维随机变量(X 1, X2, , Xn)的联合分布函数为 F(x1, x2, , xn), 若存在非负函数 f (x1, x2, , xn), 使得对于任意实数 x1、x 2、 xn, 有F(x1, x2, , xn) = ,nx ndf1 21),则称 f (x1, x2, , xn)为 n 维随机变量 (X1, X2, , Xn)的联合概率密度.称 , , 为关于 X1, (X1, X2), 的边缘分布,1FX ,(21F函数, , nndxxff 32211 ),()(, nXfx 412, ),()21为关于 X1, (X1, X2), 的边缘概率密度.若对于所有的 x1、x 2、x n, 有 F(x1, x2, , xn) , 则称 X1, X2, , Xn 是相)()(21nXXxFF互独立的, 对离散型即连续型随机变量, 也有类似的结论.若对于所有的 x1、x 2、x m; y1、y 2、y n, 有F(x1, x2, , xm; y1, y2, , yn) = F1 (x1, x2, , xm) F2 (y1, y2, , yn)其中 F1、F 2 和 F 依次为(X 1, X2, , Xm)、(Y 1, Y2, , Yn)和(X 1, X2, , Xm; Y1, Y2, , Yn)的分布函数, 则称随机变量(X 1, X2, , Xm)和(Y 1, Y2, , Yn)是相互独立的.定理 设随机变量(X 1, X2, , Xm)和(Y 1, Y2, , Yn)相互独立, 则 Xi (i = 1, 2, , m)与 Yj(j = 1, 2, , n)相互独立. 又若 h、g 是连续函数, 则 h(X1, X2, , Xm)和 g(Y1, Y2, , Yn)也相互独立.