2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数（ⅰ）2.1 指数函数 2.1.2 指数函数及其性质 第2课时 指数函数及其性质的应用学案 新人教a版必修1

第2课时指数函数及其性质的应用学习目标：1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式(重点)2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题(难点)合 作 探 究·攻 重 难利用指数函数的单调性比较大小比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.61.2和0.61.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0且a1). 【导学号：37102243】解(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.61.2,0.61.5可看作函数y0.6x的两个函数值，因为函数y0.6x在R上是减函数，且1.2>1.5，所以0.61.2<0.61.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.701,0.92.1<0.901，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a>1时，yax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，yax在R上是减函数，故a1.1<a0.3.规律方法比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.跟踪训练1比较下列各值的大小：，2，3，.解先根据幂的特征，将这4个数分类：(1)负数：3；(2)大于1的数：，2；(3)大于0且小于1的数：.(2)中，<2<2 (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出yx，y2x的图象，再分别取x，x，比较对应函数值的大小，如图)，故有3<<<2.利用指数函数的单调性解不等式(1)解不等式3x12；(2)已知ax23x1<ax6(a>0，a1)，求x的取值范围. 【导学号：37102244】解(1)21，原不等式可以转化为3x11.yx在R上是减函数，3x11，x0，故原不等式的解集是x|x0(2)分情况讨论：当0<a<1时，函数f(x)ax(a>0，a1)在R上是减函数，x23x1>x6，x24x5>0，根据相应二次函数的图象可得x<1或x>5；当a>1时，函数f(x)ax(a>0，a1)在R上是增函数，x23x1<x6，x24x5<0，根据相应二次函数的图象可得1<x<5.综上所述，当0<a<1时，x<1或x>5；当a>1时，1<x<5.规律方法跟踪训练2若ax1>53x(a>0且a1)，求x的取值范围解因为ax1>53x，所以ax1>a3x5，当a>1时，yax为增函数，可得x1>3x5，所以x<3；当0<a<1时，yax为减函数，可得x1<3x5，所以x>3.综上，当a>1时，x的取值范围为(，3)；当0<a<1时，x的取值范围为(3，)指数型函数单调性的综合应用探究问题1函数f(x)x22x1的单调区间是什么？提示：因为函数yt在(，)上单调递减，函数tx22x1在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以复合函数f(x)x22x1在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减2函数yax2(a>0，且a1)的单调性与yx2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a>1时，函数yax2的单调性与yx2的单调性一致；(2)当0<a<1时，函数yax2的单调性与yx2的单调性相反判断f(x)x22x的单调性，并求其值域. 【导学号：37102245】思路探究：解令ux22x，则原函数变为yu.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又yu在(，)上递减，yx22x在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(x1)211，yu，u1，)，0<u13，原函数的值域为(0,3母题探究：1.把本例的函数改为“f(x)2x22x”，求其单调区间解函数y2x22x的定义域是R.令ux22x，则y2u.当x(，1时，函数ux22x为增函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在(，1上是增函数当x1，)时，函数ux22x为减函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在1，)上是减函数综上，函数y2x22x的单调减区间是1，)，单调增区间是(，12把本例函数改为“f(x)ax22x，且f(x)有最大值9”，求a的值解令g(x)ax22x，则f(x)g(x)，由于f(x)的最大值为9，所以g(x)的最小值为2.当a0时，f(x)2x，无最大值当a0时，由题意可知解得a，所以，当f(x)的最大值为9时，a的值为.规律方法函数yaf(x)(a>0，a1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数yaf(x)(a>0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性.当 堂 达 标·固 双 基1若2x1<1，则x的取值范围是()A(1,1)B(1，)C(0,1)(1，) D(，1)D2x1<120，且y2x是增函数，x1<0，x<1.2下列判断正确的是() 【导学号：37102246】A1.72.51.73 B0.820.83C2D0.90.30.90.5Dy0.9x在定义域上是减函数，0.30.5，0.90.30.90.5.3函数y1x的单调增区间为()AR B(0，)C(1，) D(0,1)A令u(x)1x，则u(x)在R上是减函数，又yu(x)是减函数，故y1x在R上单调递增，故选A.4已知a，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为_. 【导学号：37102247】m<na(0,1)，f(x)ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，m<n.5已知函数f(x)ax(a>0且a1)的图象经过点.(1)比较f(2)与f(b22)的大小；(2)求函数g(x)ax22x(x0)的值域解(1)由已知得a2，解得a，因为f(x)x在R上递减，则2b22，所以f(2)f(b22)(2)因为x0，所以x22x1，所以x22x3，即函数g(x)ax22x(x0)的值域为(0,3- 6 -