2018年秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 空间向量与空间角学案 新人教a版选修2-1

第3课时空间向量与空间角学习目标：1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系(易错点)自 主 预 习·探 新 知空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角设l1与l2的方向向量为a，b，则cos |cos<a，b>|直线l与平面所成的角设l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cos<a，n>|二面角­l­的平面角设平面，的法向量为n1，n2，则|cos |cos<n1，n2>|0，思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？提示(1)设n为平面的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面所成的角为，则(2)条件平面，的法向量分别为u，所构成的二面角的大小为，u，图形关系计算cos cos cos cos 基础自测1思考辨析(1)直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值等于直线与平面所成角的正弦值()(2)两条异面直线所成的角，不可能为钝角()(3)二面角的余弦值等于二面角的两个半平面的法向量所成角的余弦值()答案(1)×(2)(3)×2已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30° B60°C150°D120°B设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，60°，应选B3长方体ABCD­A1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为_. 【导学号：46342174】如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,3)(1,1,0)，(0,1,3)，cos，.综上，异面直线AC与BC1所成角的余弦值为.合 作 探 究·攻 重 难求两条异面直线所成的角如图3­2­20，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60°，AOB90°，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小图3­2­20解建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)|cos，.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.规律方法1.几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可2由于两异面直线夹角的范围是，而两向量夹角的范围是0，故应有cos |cos |，求解时要特别注意跟踪训练1已知四棱锥S­ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为()A BCDC依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥S­ABCD的棱长为，则A(0，1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(1,0,0)，E点坐标为，(1,0，1)，cos，故异面直线所成角的余弦值为.故选C求直线与平面所成的角如图3­2­21，四棱锥P­ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点图3­2­21(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 【导学号：46342175】思路探究(1)线面平行的判定定理MN平面PAB(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角直线AN与平面PMN所成角的正弦值解(1)证明：由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB(2)如图，取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.规律方法若直线l与平面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下：跟踪训练2.如图3­2­22，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.图3­2­22(1)求证：PD平面PAB(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD所以ABPD又因为PAPD，所以PD平面PAB(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD如图，建立空间直角坐标系O­xyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0，0,1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2.所以n(1，2,2)又(1,1，1)，所以cosn，.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点，则存在0,1使得.因此点M(0,1，)，(1，)因为BM平面PCD，所以要使BM平面PCD当且仅当·n0，即(1，)·(1，2,2)0.解得.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.求二面角探究问题1建立空间直角坐标系时，如何寻找共点的两两垂直的三条直线？提示：应充分利用题目给出的条件，如线面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出适当的辅助线然后证明它们两两垂直，再建系2如何确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系？提示：法一：观察法，通过观察图形，观察二面角是大于，还是小于.法二：在二面角所含的区域内取一点P，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等如图3­2­23，在四棱锥P­ABCD中，ABCD，且BAPCDP90°.图3­2­23(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90°，求二面角A­PB­C的余弦值. 【导学号：46342176】思路探究(1)先证线面垂直，再证面面垂直；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解解(1)证明：由已知BAPCDP90°，得ABAP，CDPD因为ABCD，所以ABPD又APDPP，所以AB平面PAD因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD(2)在平面PAD内作PFAD，垂足为点F.由(1)可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F­xyz.由(1)及已知可得A，P，B，C，所以，(，0,0)，(0,1,0)设n(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则即所以可取n(0，1，)设m(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则即所以可取m(1,0,1)，则cosn，m.所以二面角A­PB­C的余弦值为.规律方法 利用向量法求二面角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定二面角的大小跟踪训练3如图3­2­24，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点图3­2­24(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角E­AG­C的大小解(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120°，所以CBP30°.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)设m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.故所求的角为60°.当 堂 达 标·固 双 基1.如图3­2­25，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()图3­2­25ABC DD以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB1.则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，(0,1，2)，(1,0,2)，cos，异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.2正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为() 【导学号：46342177】A BCDB设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)(1,0,1)，(