2.5 二维随机变量及其联合分布函数.pdf
E-mail: xuxinahu.edu.cn ? 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 ?二维离散型随机变量二维离散型随机变量 ?二维连续型随机变量二维连续型随机变量 ?两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 ?小结小结 §§§§5 5 5 5 二维随机变量及其联合分布函数二维随机变量及其联合分布函数二维随机变量及其联合分布函数二维随机变量及其联合分布函数 E-mail: xuxinahu.edu.cn 一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 定义定义定义定义1 1 1 1 设在试验E的样本空间=w上定义了两 个随机变量X、Y,称向量(X,Y)为 设在试验E的样本空间=w上定义了两 个随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机 变量 二维随机 变量或或二维随机向量二维随机向量. . E-mail: xuxinahu.edu.cn 实例实例1 炮弹的弹着点的 位置 炮弹的弹着点的 位置 (X,Y) 就是一个二维 随机变量 就是一个二维 随机变量. 二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与的性质不仅与X 、Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 实例实例2 考查某一地 区学 前儿童的发育情况 考查某一地 区学 前儿童的发育情况 , 则儿 童的身高 则儿 童的身高 H 和体重和体重 W 就 构成二维随机变量 就 构成二维随机变量(H,W). 说明说明 E-mail: xuxinahu.edu.cn 因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y 而来了解二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作 为一个 因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y 而来了解二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作 为一个整体整体来研究. 类似于一维随机变量,我们也可利用 来研究. 类似于一维随机变量,我们也可利用“分布 函数 分布 函数”来研究二维随机变量(X,Y),并且分别就来研究二维随机变量(X,Y),并且分别就离 散型 离 散型与与连续型连续型来加以分析.来加以分析. 注意注意 E-mail: xuxinahu.edu.cn 定义定义定义定义2 2 2 2 设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数 分布函数 在点 处的函数值就是事件 设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数 分布函数 在点 处的函数值就是事件 “随机点随机点(X,Y)落在以点 为右上顶点的角形区 域 落在以点 为右上顶点的角形区 域”的概率的概率. ),(yxF ),(yx ),(yx 定义域为 全平面 定义域为 全平面 定义域为 全平面 定义域为 全平面 ( , )() (),F x yP XxYyP Xx Yy= 2 ( , )x yR 为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随 机变量 的分布函数或称为随 机变量X和和Y的的分布函数分布函数或或联合分布函数联合分布函数。 E-mail: xuxinahu.edu.cn 分布函数具有下列基本性质分布函数具有下列基本性质: （1）0( , )1(,)F x yxy 当时 对固定的对固定的x， 2121 ( ,)( ,).yyF x yF x y当时 （3） ( , )F x y是关于是关于x或或y均是均是右连续右连续， 即 ， 即(0, )( , ),( ,0)( , )F xyF x y F x yF x y+=+= （4）对于任意）对于任意 11221212 ( ,),(,),x yxyxxyy = 其它 + + =dxdyyxf),(1 (1) 因为因为 , 2 |) 1(|) 2 1 ( 00 2 C eeC yx = + dyeeC yxdx + = 00 2 所以所以. 2=C （1）求）求C值；（值；（2）分布函数）分布函数( , );F x y （3）求概率）求概率P YX E-mail: xuxinahu.edu.cn = + 其它, 0 , 0, 0,2 ),( )2( yxe yxf yx 故故 (2)由概率密度求分布函数由概率密度求分布函数. ?解题思路?解题思路 ?画出画出联合概率密度的 非零区域 联合概率密度的 非零区域; ? 点点(x,y)在全平面范围 内取值 在全平面范围 内取值; ? 综合上述两点得出就综合上述两点得出就 (x,y)的分段情形的分段情形. E-mail: xuxinahu.edu.cn = y x dudvvufyxF),(),( = , 0 , 0, 0,2 00 2 其它 yxdvedue xy vu = , 0 , 0, 0,| 00 2 其它 yxee yvxu = , 0 , 0, 0),1)(1 ( 2 其它 yxee yx 本例中分布函数应分为两段来计算本例中分布函数应分为两段来计算:就就x0,y0 与与“其它其它”。 利用重积分对积 分区域的可加性 利用重积分对积 分区域的可加性, 只保留非零积分 只保留非零积分 利用重积分对积 分区域的可加性 利用重积分对积 分区域的可加性, 只保留非零积分只保留非零积分 E-mail: xuxinahu.edu.cn (3)求概率求概率PYX. ?只需在?只需在概率密度概率密度概率密度概率密度f f的非零的非零的非零的非零 区域区域区域区域与与事件区域事件区域事件区域事件区域 G=(x,y)|yx 的的交集交集交集交集D D上积分上积分. 由公式由公式 .),(),( = G dxdyyxfGYXP 得得: .),(),( = xyD dxdyyxfdxdyyxfXYP dxeedyedxe xyx x yx 0 0 2 00 2 |) 1(22 + + = E-mail: xuxinahu.edu.cn . 3 1 3 2 1| 3 2 )1 (2 0 32 0 2 =+= + + xxxx eedxee 本例是一个本例是一个本例是一个本例是一个典型题典型题典型题典型题. . . .大家应熟练掌握分析与计大家应熟练掌握分析与计大家应熟练掌握分析与计大家应熟练掌握分析与计 算的方法。特别是会根据算的方法。特别是会根据算的方法。特别是会根据算的方法。特别是会根据不同形状不同形状不同形状不同形状的的的的概率密度非零概率密度非零概率密度非零概率密度非零 区域区域区域区域与所求概率的与所求概率的与所求概率的与所求概率的事件事件区域区域区域区域G G G G来处理这类问题。来处理这类问题。来处理这类问题。 来处理这类问题。 E-mail: xuxinahu.edu.cn 解解 ,dd),()(11= = yxyxp因为因为 1dd)6( 2 0 4 2 = xyyxk所以所以; 8 1 = k .4)4(;5 . 1)3( ;3, 1)2(;) 1 ( ., 0 , 42, 20),6( ),( ),( + , 2121 ).,(),( 2121 NYX E-mail: xuxinahu.edu.cn 二维正态分布的图形二维正态分布的图形 E-mail: xuxinahu.edu.cn 1. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 .,),(yYxXPyxF = = 2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数二维离散型随机变量的分布律及分布函数 , ijji pyYxXP= = = = ;, 2 , 1,?= =ji .),( = = yy xx ij j i pyxF 3. 二维连续型随机变量的概率函数二维连续型随机变量的概率函数 ( , )( , ) d d . yx F x yf u vu v = 五、小结五、小结
