2019年北京卷文数高考试题文档版含答案

绝密本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A=x|1<x<2，B=x|x>1，则AB=（A）（1，1）（B）（1，2）（C）（1，+）（D）（1，+）（2）已知复数z=2+i，则（A）（B）（C）3（D）5（3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（A）（B）y=（C）（D）（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1（B）2（C）3（D）4（5）已知双曲线（a>0）的离心率是，则a=（A）（B）4（C）2（D）（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（k=1,2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1 （B）10.1（C）lg10.1 （D）（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为.图中阴影区域的面积的最大值为（A）4+4cos（B）4+4sin（C）2+2cos（D）2+2sin第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知向量=（4，3），=（6，m），且，则m=_（10）若x，y满足 则的最小值为_，最大值为_（11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_（13）已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在ABC中，a=3，cosB=（）求b，c的值；（）求sin（B+C）的值（16）（本小题13分）设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值（17）（本小题12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元结合（）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由（18）（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点（）求证：BD平面PAC；（）若ABC=60°，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由（19）（本小题14分）已知椭圆的右焦点为，且经过点（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点（20）（本小题14分）已知函数（）求曲线的斜率为1的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】C【解析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】，故选C.【点睛】考查并集求法，属于基础题.2.【答案】D【解析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】故选D.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.3.【答案】A【解析】根据函数图像性质可得出结果.【详解】函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A.【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.4.【答案】B【解析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次，运行第二次，运行第三次，结束循环，输出，故选B.【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.5.【答案】D【解析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于A的方程求解.【详解】分析：详解：双曲线的离心率，解得，故选D.【点睛】对双曲线基础知识和基本计算能力的考查.6.【答案】C【解析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.【详解】时，, 为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.【答案】D【解析】先求出，然后将对数式换指数式求再求【详解】两颗星的星等与亮度满足 ,令，故选D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.8.【答案】B【解析】阴影部分的面积S=SPAB+ S1- SOAB.其中S1、SOAB的值为定值.当且仅当SPAB取最大值时阴影部分的面积S取最大值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时BOP=AOP=-, 面积S最大值为r2+SPOB+ SPOA=4+|OP|OB|sin（-）+|OP|OA|Sin（-）=4+2Sin+2Sin=4+4 Sin，故选B.【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.【答案】8.【解析】利用转化得到加以计算，得到.【详解】向量则.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10.【答案】 (1). . (2). 1.【解析】作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解.【详解】作出可行域如图阴影部分所示.设z=y-x,则y=x+z.当直线l0：y=x+z经过点A（2,-1）时,z取最小值-3，经过点B（2,3）时,z取最大值1.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.11.【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2P=4，P=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.12.【答案】40.【解析】画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积.【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示几何体的体积V=43-（2+4）×2×4=40【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.13.【答案】如果l，m，则lm.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l，m，则lm. 正确；（2）如果l，lm，则m.不正确，有可能m在平面内；（3）如果lm，m，则l.不正确，有可能l与斜交、l.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.14.【答案】 (1). 130. (2). 15.【解析】（1）将购买的草莓和西瓜加钱与120进行比较，再根据促销规则可的结果；（2）根据、分别探究.【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求.元时，有（y-x）×80%y×70%成立，即8（y-x）7y，x，即x（）min=15元.所以x的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难度.三、解答题（共6小题，共80分）15.【答案】（）；（）.【解析】()由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；()由题意结合余弦定理、同角三角函数基本关系和诱导公式可得的值.【详解】（）由余弦定理可得，因为，所以；因为，所以解得.（）由（）知，所以；因为为的内角，所以.因为.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数基本关系、诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.【答案】（）；（）当或者时，取到最小值.【解析】()由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；()首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解