2019年北京卷理数高考试题文档版含答案

绝密本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数z=2+i，则（A）（B）（C）3（D）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2（C）3 （D）4（3）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（A）（B）（C）（D）（4）已知椭圆（ab0）的离心率为，则（A）a2=2b2（B）3a2=4b2（C）a=2b（D）3a=4b（5）若x，y满足，且y1，则3x+y的最大值为（A）7（B）1（C）5（D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1 （B）10.1（C）lg10.1 （D）1010.1（7）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）函数f（x）=sin22x的最小正周期是_（10）设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=3，S5=10，则a5=_，Sn的最小值为_（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_（12）已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_（13）设函数f（x）=ex+aex（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在ABC中，a=3，bc=2，cosB=（）求b，c的值；（）求sin（BC）的值（16）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为PD的中点，点F在PC上，且（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由（17）（本小题13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000（1000，2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由（18）（本小题14分）已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）（）求抛物线C的方程及其准线方程；（）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（19）（本小题13分）已知函数（）求曲线的斜率为1的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值（20）（本小题13分）已知数列an，从中选取第i1项、第i2项、第im项（i1<i2<<im），若，则称新数列为an的长度为m的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列（）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为若p<q，求证：<；（）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s1，且长度为s末项为2s1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，），求数列an的通项公式绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】D【解析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】故选D.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.2.【答案】B【解析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次，运行第二次，运行第三次，结束循环，输出，故选B.【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.3.【答案】D【解析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【详解】直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D.【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.4.【答案】B【解析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率,化简得,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.5.【答案】C【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示. 设,当直线经过点时,取最大值5.故选C.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画移解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识基本技能的考查.6.【答案】D【解析】先求出，然后将对数式换为指数式求再求【详解】两颗星的星等与亮度满足 ,令，故选D. 【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.7.【答案】C【解析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】ABC三点不共线,|+|>|+|>|-|+|2>|-|2>0与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>|”的充分必要条件,故选C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断平面向量的模夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8.【答案】C【解析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.详解】由得,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论正确.由得,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.【答案】【解析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数,周期为【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式三角函数的最小正周期公式，属于基础题.10.【答案】 (1). 0. (2). -10.【解析】首先确定公差,然后由通项公式可得的值，进一步研究数列中正项负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列中,得,公差,由等差数列的性质得时,时,大于0,所以的最小值为或,即为.【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式等差数列的性质,难度不大,注重重要知识基础知识基本运算能力的考查.11.【答案】40.【解析】画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积.【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示几何体的体积V=43-（2+4）×2×4=40【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.12.【答案】如果l，m，则lm.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l，m，则lm. 正确；（2）如果l，lm，则m.不正确，有可能m在平面内；（3）如果lm，m，则l.不正确，有可能l与斜交、l.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.13.【答案】 (1). -1; (2). .【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.【详解】若函数为奇函数,则，对任意的恒成立.若函数是上的增函数,则恒成立,.即实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的奇偶性单调性利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识基础知识基本运算能力的考查