2019年高考全国3卷理科数学及答案

理科数学试题 第 1 页（共 10 页） 绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1已知集合 2 1,0,1,21ABx x ，则AB A1,0,1B0,1C1,1D0,1,2 2若(1 i)2iz，则 z= A1 i B1+iC1 iD1+i 3西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古 典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生， 其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游 记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A05B06C07D08 4（1+2x2）（1+x）4的展开式中 x3的系数为 A12B16C20D24 5已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项为和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3= A 16B 8C4D 2 6已知曲线eln x yaxx在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则 Ae1ab ，Ba=e，b=1 C 1 e1ab ， D 1 ea ，1b 理科数学试题 第 2 页（共 10 页） 7函数 3 2 22 xx x y 在6,6的图象大致为 AB CD 8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 ABM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 9执行下边的程序框图，如果输入的为 001，则输出s的值等于 A 4 1 2 2 B 5 1 2 2 C 6 1 2 2 D 7 1 2 2 理科数学试题 第 3 页（共 10 页） 10双曲线 C： 22 42 xy =1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若 =POPF，则PFO 的面积为 A 3 2 4 B 3 2 2 C2 2D3 2 11设 f x是定义域为 R 的偶函数，且在0,单调递减，则 Af（log3 1 4 ）f（ 3 2 2 ）f（ 2 3 2 ）Bf（log3 1 4 ）f（ 2 3 2 ）f（ 3 2 2 ） Cf（ 3 2 2 ）f（ 2 3 2 ）f（log3 1 4 ） Df（ 2 3 2 ）f（ 3 2 2 ）f（log3 1 4 ） 12设函数 f x=sin（ 5 x ）(0)，已知 f x在0,2有且仅有 5 个零点，下述 四个结论： f x在（0,2）有且仅有 3 个极大值点 f x在（0,2）有且仅有 2 个极小值点 f x在（0, 10 ）单调递增 的取值范围是 12 29 5 10 ，) 其中所有正确结论的编号是 A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知 a，b 为单位向量，且 a·b=0，若 25cab，则cos ,a c _ 14记 Sn为等差数列an的前 n 项和， 121 03aaa ，则 10 5 S S _ 15 设 12 FF，为椭圆 C: 22 +1 3620 xy 的两个焦点， M 为 C 上一点且在第一象限 若 12 MFF 为等腰三角形，则 M 的坐标为_ 16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 1111 ABCDABC D挖去四棱锥 OEFGH 后所得几何体，其中 O 为长方体的中心，E， F，G，H 分别为所在棱的中点， 1 6cm4cmAB= BC=, AA =，3D 打印所用原料密度 为 09 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_ 理科数学试题 第 4 页（共 10 页） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A、B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组 小鼠给服的溶液体积相同、 摩尔浓度相同 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小 鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图： 记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 55”，根据直方图得到 P（C）的 估计值为 0.70 （1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表） 18（12 分） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知sinsin 2 AC abA （1）求 B； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围 19（12 分） 图 1 是由矩形 ADEB、RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1， BE=BF=2，FBC=60°，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； （2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小 理科数学试题 第 5 页（共 10 页） 20（12 分） 已知函数 32 ( )2f xxaxb （1）讨论( )f x的单调性； （2）是否存在, a b，使得( )f x在区间0,1的最小值为1且最大值为 1？若存在， 求出, a b的所有值；若不存在，说明理由 21（12 分） 已知曲线 C： y= 2 2 x ， D 为直线 y= 1 2 上的动点， 过 D 作 C 的两条切线， 切点分别为 A， B （1）证明：直线 AB 过定点： （2）若以 E(0， 5 2 )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 如图，在极坐标系 Ox 中，(2,0)A，( 2,) 4 B ，( 2,) 4 C ，(2, )D，弧 AB，BC， CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1, ) 2 ，(1, )，曲线 1 M是弧 AB，曲线2 M是弧 BC，曲 线 3 M是弧 CD （1）分别写出 1 M， 2 M， 3 M的极坐标方程； （2）曲线M由 1 M， 2 M， 3 M构成，若点P在 M 上，且| |3OP ，求 P 的极坐标 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设, ,x y zR，且1xyz （1）求 222 (1)(1)(1)xyz的最小值； （2）若 222 1 (2)(1)() 3 xyza成立，证明：3a 或1a 理科数学试题 第 6 页（共 10 页） 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学·参考答案 一、选择题 1A2D3C4A5C6D7B8B9C10 A 11C12D 二、填空题 13 2 3 14415(3, 15)161188 三、解答题 17解：（1）由已知得070=a+020+015，故a=035 b=1005015070=010 （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×015+3×020+4×030+5×020+6×010+7×005=405 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×005+4×010+5×015+6×035+7×020+8×015=600 18解：（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为sinA0，所以sinsin 2 AC B 由180ABC ，可得sincos 22 ACB ，故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B ，故 1 sin 22 B ，因此B=60° （2）由题设及（1）知ABC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC为锐角三角形， 故0°0，则当(,0), 3 a x 时，( )0fx；当0, 3 a x 时，( )0fx故 ( )f x在(,0), 3 a 单调递增，在0, 3 a 单调递减； 若 a=0，( )f x在(,) 单调递增； 若 a0，则当,(0,) 3 a x 时，( )0fx；当,0 3 a x 时，( )0fx故 理科数学试题 第 8 页（共 10 页） ( )f x在,(0,) 3 a 单调递增，在,0 3 a 单调递减 （2）满足题设条件的 a，b 存在 （i）当 a0 时，由（1）知，( )f x在0，1单调递增，所以( )f x在区间0，l的最小 值为(0)=fb，最大值为(1)2fab此时 a，b 满足题设条件当且仅当1b ， 21ab，即 a=0，1b （ii）当 a3 时，由（1）知，( )f x在0，1单调递减，所以( )f x在区间0，1的最大 值为(0)=fb，最小值为(1)2fab此时 a，b 满足题设条件当且仅当 21ab ，b=1，即 a=4，b=1 （iii）当 0a3 时，由（1）知，( )f x在0，1的最小值为 3 327 aa fb ，最大值 为 b 或2ab 若 3 1 27 a b ，b=1，则 3 3 2a ，与 0a3 矛盾 若 3 1 27 a b