2019年高考全国2卷理科数学及答案

理科数学试题 第 1 页（共 9 页） 绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1设集合 Ax|x25x60，B x|x1b，则 Aln(ab）0B3a0Dab 7设，为两个平面，则的充要条件是 A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行 C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面 8若抛物线 y22px(p0）的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，则 p A2B3C4D8 9下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ， 2 ）单调递增的是 Af (x）cos 2xBf (x）sin 2xCf (x）cosxDf (x） sinx 10已知(0， 2 ），2sin 2cos 21，则 sin A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 11设 F 为双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆 与圆 222 xya交于 P，Q 两点若PQOF，则 C 的离心率为 A2B3C2D5 12设函数 ( )f x的定义域为 R，满足(1)2 ( )f xf x ，且当 (0,1x 时，( ) (1)f xx x 若 对任意 (,xm ，都有 8 ( ) 9 f x ，则 m 的取值范围是 A 9 (, 4 B 7 (, 3 C 5 (, 2 D 8 (, 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正 点率为 097，有 20 个车次的正点率为 098，有 10 个车次的正点率为 099，则经 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 14已知( )f x是奇函数，且当0x 时，( )eaxf x 若(ln2)8f，则a _ 15ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c若 6,2 , 3 bac B，则ABC的面 积为_ 理科数学试题 第 3 页（共 9 页） 16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体 或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）半正多面 体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 半正多面体体现了数学的对称美 图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正 方体的棱长为 1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第 一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1 （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AEA1E，求二面角 BECC1的正弦值 18（12 分） 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多 得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的 概率为 05，乙发球时甲得分的概率为 04，各球的结果相互独立在某局双方 10:10 平 后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束 （1）求 P（X2）； （2）求事件“X4 且甲获胜”的概率 19（12 分） 已知数列an和bn满足 a11，b10， 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba （1）证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式 理科数学试题 第 4 页（共 9 页） 20（12 分） 已知函数 1 1 ln x f xx x （1）讨论 f (x）的单调性，并证明 f (x）有且仅有两个零点； （2）设 x0是 f (x）的一个零点，证明曲线 yln x 在点 A(x0，ln x0）处的切线也是曲线 exy 的切线 21（12 分） 已知点 A(2,0），B(2,0），动点 M(x,y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 1 2 记 M 的轨迹为曲线 C （1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E， 连结 QE 并延长交 C 于点 G （i）证明：PQG是直角三角形； （ii）求PQG面积的最大值 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中，O 为极点，点 000 (,)(0)M 在曲线:4sinC上，直线 l 过点 (4,0)A且与OM垂直，垂足为 P （1）当 0= 3 时，求 0 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知( ) |2|().f xxa xxxa （1）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集； （2）若(,1)x 时，( )0f x ，求a的取值范围 理科数学试题 第 5 页（共 9 页） 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学·参考答案 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题 1A2C3C4D5A6C 7B8D9A10B11A12B 二、填空题 130.9814315631626；21 三、解答题： 17解：（1）由已知得， 11 BC 平面 11 ABB A，BE 平面 11 ABB A，故 11 BC BE 又 1 BEEC，所以BE 平面 11 EBC （2） 由 （1） 知 1 90BEB 由题设知 11 RtRtABEAB E， 所以45AEB， 故AEAB， 1 2AAAB 以D为坐标原点，DA 的方向为x轴正方向，|DA 为单位长，建 立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则C（0，1，0），B（1，1，0）， 1 C（0，1，2），E（1，0，1） ， (1, 1,1)CE ， 1 (0,0,2)CC 设平面EBC的法向量为n（x，y，x），则 0, 0, CB CE n n 即 0, 0, x xyz 所以可取n(0, 1, 1) 设平面 1 ECC的法向量为m（x，y，z），则 10, 0, CC CE m m 即 20, 0. z xyz 所以可取m（1，1，0） 理科数学试题 第 6 页（共 9 页） 于是 1 cos, |2 n m n m n m 所以，二面角 1 BECC的正弦值为 3 2 18解：（1）X2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得 分，或者均由乙得分因此P（X2）05×04（105）×（104）05 （2）X4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的 得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分 因此所求概率为 05×（104）（105）×04×05×0401 19解：（1）由题设得 11 4()2() nnnn abab ，即 11 1 () 2 nnnn abab 又因为a1b1l，所以 nn ab是首项为1，公比为 1 2 的等比数列 由题设得 11 4()4()8 nnnn abab ， 即 11 2 nnnn abab 又因为a1b1l，所以 nn ab是首项为1，公差为2的等差数列 （2）由（1）知， 1 1 2 nn n ab ，21 nn abn 所以 111 ()() 222 nnnnn n aababn， 111 ()() 222 nnnnn n bababn 20解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，）单调递增 因为 f（e） e 1 10 e 1 ， 22 2 22 e1e3 (e )20 e1e1 f ， 所以 f（x）在（1，）有唯一零点 x1，即 f（x1）0 又 1 1 01 x ， 1 11 11 11 ()ln()0 1 x fxf x xx ， 故 f（x）在（0，1）有唯一零点 1 1 x 综上，f（x）有且仅有两个零点 （2）因为 0 ln 0 1 e x x ，故点 B（lnx0， 0 1 x ）在曲线 yex上 理科数学试题 第 7 页（共 9 页） 由题设知 0 ()0f x，即 0 0 0 1 ln 1 x x x ， 故直线 AB 的斜率 0 0 000 0 000 0 0 111 ln 11 1 ln 1 x x xxx k x xxx x x 曲线 yex在点 0 0 1 ( ln,)Bx x 处切线的斜率是 0 1 x ， 曲线lnyx在点 00 (,ln)A xx处切 线的斜率也是 0 1 x ， 所以曲线lnyx在点 00 (,ln)A xx处的切线也是曲线 yex的切线 21解：（1）由题设得 1 222 yy x