2019年高考全国2卷文科数学及答案

文科数学试题 第 1 页（共 8 页） 绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1已知集合= |1Ax x ， |2Bx x，则 AB A(1，）B(，2）C(1，2）D 2设 zi(2i），则z A12iB12iC12iD12i 3已知向量 a(2，3），b(3，2），则|ab| A2B2C52D50 4生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为 A 2 3 B 3 5 C 2 5 D 1 5 5在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次 序为 A甲、乙、丙B乙、甲、丙 C丙、乙、甲D甲、丙、乙 6设 f (x）为奇函数，且当 x0 时，f (x）e1 x ，则当 x0）两个相邻的极值点，则 A2B 3 2 C1D 1 2 文科数学试题 第 2 页（共 8 页） 9若抛物线 y22px（p0）的焦点是椭圆 22 1 3 xy pp 的一个焦点，则 p A2B3C4D8 10曲线 y2sinxcosx 在点(，1）处的切线方程为 A10xy B2210xy C2210xy D10xy 11已知 a（0， 2 ），2sin2cos21，则 sin A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 12设 F 为双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的 圆与圆 x2y2a2交于 P、Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为 A2B3C2D5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若变量 x，y 满足约束条件 2360 30 20 xy xy y ， ， ， 则 z3xy 的最大值是_ 14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正 点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站 高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 15ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 bsinAacosB0，则 B_ 16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体 或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）半正多面 体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 半正多面体体现了数学的对称美 图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正 方体的棱长为 1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第 一空 2 分，第二空 3 分） 文科数学试题 第 3 页（共 8 页） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1 （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AEA1E，AB3，求四棱锥 11 EBBC C的体积 18（12 分） 已知 n a是各项均为正数的等比数列， 132 2,216aaa （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba，求数列 n b的前 n 项和 19（12 分） 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况， 随机调查了 100 个企业， 得到这些 企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表 y的分组 0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80) 企业数22453147 （1） 分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、 产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间 的中点值为代表） （精确到 001） 附：748.602 20（12 分） 已知 12 ,F F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原 点 （1）若 2 POF为等边三角形，求 C 的离心率； （2）如果存在点 P，使得 12 PFPF，且 12 FPF的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取 值范围 文科数学试题 第 4 页（共 8 页） 21 （12 分） 已知函数( )(1)ln1f xxxx证明： （1）( )f x存在唯一的极值点； （2）( )=0f x有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中，O 为极点，点 000 (,)(0)M 在曲线:4sinC上，直线 l 过点 (4,0)A且与OM垂直，垂足为 P （1）当 0= 3 时，求 0 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知( ) |2|().f xxa xxxa （1）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集； （2）若(,1)x 时，( )0f x ，求a的取值范围 文科数学试题 第 5 页（共 8 页） 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学·参考答案 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题 1C2D3A4B5A6D 7B8A9D10C11B12A 二、填空题 1391409815 3 4 1626，21 三、解答题： 17解： （1）由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1， 故 11 BCBE又 1 BEEC，所以 BE平面 11 EBC （2）由（1）知BEB190°由题设知 RtABERtA1B1E，所以 11 45AEBAEB ，故 AEAB3， 1 26AAAE 作 1 EFBB，垂足为 F，则 EF平面 11 BBC C，且3EFAB 所以，四棱锥 11 EBBC C的体积 1 3 6 318 3 V 18解： （1）设 n a的公比为q，由题设得 2 2416qq，即 2 280qq 解得2q （舍去）或q4因此 n a的通项公式为 121 2 42 nn n a （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 2 (21)log 221 n bnn， 因 此 数 列 n b的 前 n 项 和 为 1 321nn 19解： （1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40% 的企业频率为 147 0.21 100 产值负增长的企业频率为 2 0.02 100 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%， 产值负增长的企业比例为2% （2） 1 ( 0.10 20.10 240.30 530.50 140.70 7)0.30 100 y ， 文科数学试题 第 6 页（共 8 页） 5 2 2 1 1 100 ii i snyy 22222 1 ( 0.40)2( 0.20)240530.20140.407 100 =0.0296， 0.02960.02740.17s ， 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17% 20解： （1）连结 1 PF，由 2 POF为等边三角形可知在 12 FPF中， 12 90FPF， 2 PFc， 1 3PFc，于是 12 2( 31)aPFPFc，故C的离心率是 31 c e a （2）由题意可知，满足条件的点( , )P x y存在当且仅当 1 | 216 2 yc， 1 yy xc xc ， 22 22 1 xy ab ，即| |16cy ， 222 xyc， 22 22 1 xy ab ， 由及 222 abc得 4 2 2 b y c ，又由知 2 2 2 16 y c ，故4b 由得 2 222 2 a xcb c ，所以 22 cb，从而 2222 232,abcb故4 2a 当4b ，4 2a 时， 存在满足条件的点P 所以4b ，a的取值范围为4 2,) 21解：（1）( )f x的定义域为（0，） 11 ( )ln1ln x fxxx xx 因为lnyx单调递增， 1 y x 单调递减，所以( )fx单调递增，又(1)10 f ， 1ln4 1 (2)ln20 22 f ，故存在唯一 0 (1,2)x ，使得 0 0fx 又当 0 xx时，( )0fx，( )f x单调递减；当 0 xx时，( )0fx，( )f x单调递 增 文科数学试题 第 7 页（共 8 页） 因此，( )f x存在唯一的极值点 （2）由（1）知 0 (1)2f xf ，又 22 ee30f，所以( )0f x 在 0, x 内存在唯一根x由 0 1x得 0 1