初中数学代数部分总复习1
初中代数部分总结 济宁附中李涛第一章 实数考点一、实数的概念及分类 (3分)1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如等;(2)有特定意义的数,如圆周率,或化简后含有的数,如+8等;(3)有特定结构的数,如0.1010010001等;(4)某些三角函数,如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 (3分)1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=b,反之亦成立。2、 绝对值(1)一个数a 的绝对值有以下三种情况:一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|0。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a0;若|a|=-a,则a0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。3、倒数如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根 (310分)1、平方根如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。一个数有两个平方根,他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“”。正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 (0) ;注意的双重非负性: -(<0) 03、立方根如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。注意:,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点四、科学记数法和近似数 (36分)1、科学记数法:设N0,则N= a×(其中1a10,n为整数)。2、有效数字:一个近似数,从左边第一个不是0的数,到精确到的数位为止,所有的数字,叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种:(1)精确到那一位;(2)保留几个有效数字。考点五、实数大小的比较 (3分)1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。2、实数大小比较的几种常用方法(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。(2)求差比较:设a、b是实数,(3)求商比较法:设a、b是两正实数,(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则。(5)平方法:设a、b是两负实数,则。考点六、实数的运算 (做题的基础,分值相当大)1、加法:(1)同号两数相加,取原来的符号,并把它们的绝对值相加;(2)异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。2、减法:减去一个数等于加上这个数的相反数。3、乘法:(1)两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘。(2)n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0;若n个非0的实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数为奇数个时,积为负。(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。4、除法:(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。(3)0除以任何数都等于0,0不能做被除数。5、乘方与开方:乘方与开方互为逆运算。6、实数的运算顺序:乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。无论何种运算,都要注意先定符号后运算。1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、实数的运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。第二章 代数式1、代数式1、代数式:用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。2、代数式的值:用数值代替代数里的字母,计算后得到的结果叫做代数式的值。3、代数式的分类:考点一、整式的有关概念 (3分)1、概念:单项式和多项式统称整式。(1)单项式:像x、7、,这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数叫做这个单项式的次数。单项式的系数:单项式中的数字因数叫单项式的系数。(2)多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式的项:多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项,就叫几项式。多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。(3)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。(4)用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,计算出结果,叫做代数式的值。注意:(1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入。 (2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,“整体”代入。2、运算 (1)整式的运算法则整式的加减法:(1)去括号;(2)合并同类项。合并同类项:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母的指数不变。 去括号法则:去括号法则(括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号一起去掉,括号里各项都不变号。(括号前是“”,把括号和它前面的“”号一起去掉,括号里各项都变号。 添括号法则:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变;括号前面是“”号,括到括号里的各项都变号。(2)整式的乘法: 同底数幂相乘: 幂的乘方: 积的乘方: 平方差公式:; 完全平方公式:,单项式乘以单项式:用它们系数的积作为积的系数,对于相同的字母,用它们的指数的和作为这个字母的指数;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘以多项式:就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。 多项式乘以多项式:先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。整式的除法:同底数幂相除:单项除单项式:把系数,同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有字母,则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式:把这个多项式的每一项除以这个单项,再把所得的商相加。注意:(1)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。(2)单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同。(3)计算时要注意符号问题,多项式的每一项都包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号。(4)多项式与多项式相乘的展开式中,有同类项的要合并同类项。(5)公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式或多项式。(6)(7)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加,单项式除以多项式是不能这么计算的。考点三、因式分解 (11分)1、因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解。2、常用的因式分解方法: (1)提取公因式法:(2)运用公式法:平方差公式:;完全平方公式:(3)十字相乘法:(4)分组分解法:将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。3、因式分解的一般步骤:(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法;(3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法。(4)最后考虑用分组分解法。注:分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。考点四、分式 (810分)1、分式定义:形如的式子叫分式,其中A、B是整式,且B中含有字母。 (1)分式无意义:B=0时,分式无意义; B0时,分式有意义。 (2)分式的值为0:A=0,B0时,分式的值等于0。 (3)分式的约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解,再约去公因式。 (4)最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式,一定要化为最简分式。 (5)通分:把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程,叫做分式的通分。 (6)最简公分母:各分式的分母所有因式的最高次幂的积。 (7)有理式:整式和分式统称有理式。 2、分式的基本性质: (1);(2) (3)分式的变号法则:分式的分子,分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。 3、分式的运算: (1)加、减:同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减;异分母的分式相加减,先把它们通分成同分母的分式再相加减。 (2)乘:先对各分式的分子、分母因式分解,约分后再分子乘以分子,分母乘以分母。 (3)除:除以一个分式等于乘上它的倒数式。 (4)乘方:分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。考点五、二次根式 (3分)1、二次根式式子叫做二次根式,二次根式必须满足:含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。2、最简二次根式若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。(2)如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。 分母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理化。4、二次根式的性质(1) (2) (3)(4)5、(1)运算: (1)二次根式的加减:将各二次根式化为最简二次根式后,合并同类二次根式。 (