函数的单调性证明

函数的单调性证明 一解答题（共40小题） 1证明：函数f（x）=在（，0）上是减函数 2求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在，+）上递增 3证明f（x）=在定义域为0，+）内是增函数 4应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数 5证明函数f（x）=2x在（，0）上是增函数 6证明：函数f（x）=x2+3在0，+）上的单调性 7证明：函数y=在（1，+）上是单调增函数 8求证：f（x）=在（，0）上递增，在（0，+）上递增 9用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+）上为减函数 10已知函数f（x）=x+ （）用定义证明：f（x）在2，+）上为增函数； （）若0对任意x4，5恒成立，求实数a的取值范围 11证明：函数f（x）=在x（1，+）单调递减 12求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在1，+上是增函数 13判断并证明f（x）=在（1，+）上的单调性 14判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性 15求函数f（x）=的单调增区间 16求证：函数f（x）=1在区间（，0）上是单调增函数 17求函数的定义域 18求函数的定义域 19根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式 （1）f（x+）=x2+ （2）f（x）+2f（）=3x 20若3f（x）+2f（x）=2x+2，求f（x） 21求下列函数的解析式 （1）已知f（x+1）=x2求f（x） （2）已知f（）=x，求f（x） （3）已知函数f（x）为一次函数，使ff（x）=9x+1，求f（x） （4）已知3f（x）f（）=x2，求f（x） 22已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，xR且x0，求f（x） 23已知3f（x）+2f（）=x（x0），求f（x） 24已知函数f（x+）=x2+（）2（x0），求函数f（x） 25已知2f（x）+f（x）=3x1，求f（x） 26若2f（x）+f（x）=3x+1，则求f（x）的解析式 27已知4f（x）5f（）=2x，求f（x） 28已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式 29若f（x）满足3f（x）+2f（x）=4x，求f（x）的解析式 30已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x） 31求下列函数的解析式： （1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）； （2）已知f（）=，求f（x） 32已知二次函数满足f（2x+1）=4x26x+5，求f（x）的解析式 33已知f（2x）=x2x1，求f（x） 34已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）=2x3，求函数f（x）的解析式 35已知f（x+2）=x23x+5，求f（x）的解析式 36已知函数f（x2）=2x23x+4，求函数f（x）的解析式 37若3f（x）+2f（x）=2x，求f（x） 38f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式 39若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式 40已知f（x1）=x24x （1）求f（x）的解析式； （2）解方程f（x+1）=0 函数的单调性证明 参考答案与试题解析 一解答题（共40小题） 1证明：函数f（x）=在（，0）上是减函数 【解答】证明：设x1x20，则： ； x1x20； x2x10，x1x20； f（x1）f（x2）； f（x）在（，0）上是减函数 2求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在，+）上递增 【解答】证明：设0x1x2， 则f（x1）f（x2）=（4x1+）（4x2+）=4（x1x2）+=（x1x2）（）， 又由0x1x2， 则（x1x2）0，（4x1x29）0，（x1x2）0， 则f（x1）f（x2）0，则函数f（x）在（0，）上递减， 设x3x4， 同理可得：f（x3）f（x4）=（x3x4）（）， 又由x3x4， 则（x3x4）0，（4x3x49）0，（x1x2）0， 则f（x3）f（x4）0，则函数f（x）在，+）上递增 3证明f（x）=在定义域为0，+）内是增函数 【解答】证明：设x1，x20，+），且x1x2，则： =； x1，x20，+），且x1x2； ； f（x1）f（x2）； f（x）在定义域0，+）上是增函数 4应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数 【解答】证明：任取x1，x2（0，2），且x1x2， 则f（x1）f（x2）=（= 因为0x1x22，所以x1x20，x1x24， 所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）， 所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数 5证明函数f（x）=2x在（，0）上是增函数 【解答】解：设x1x20， f（x1）f（x2） =2x12x2+ =（x1x2）（2+）， x1x20， x1x20，2+0， f（x1）f（x2）0， 即：f（x1）f（x2）， 函数f（x）=2x在（，0）上是增函数 6证明：函数f（x）=x2+3在0，+）上的单调性 【解答】解：任取0x1x2， 则f（x1）f（x2）= =（x1+x2）（x1x2） 因为0x1x2，所以x1+x20，x1x20， 故原式f（x1）f（x2）0， 即f（x1）f（x2），所以原函数在0，+）是单调递增函数 7证明：函数y=在（1，+）上是单调增函数 【解答】解：函数f（x）=1在在区间（1，+）， 可以设1x1x2， 可得f（x1）f（x2）=11+= 1x1x20， x1+10，1+x20，x1x20， 0 f（x1）f（x2）， f（x）在区间（，0）上为增函数； 8求证：f（x）=在（，0）上递增，在（0，+）上递增 【解答】证明：设x1x2，则f（x1）f（x2）=（）=， x1x2，x1x20， 若x1x20，则x1x20，此时f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），此时函数单调递增 若0x1x2，则x1x20，此时f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），此时函数单调递增 即f（x）=在（，0）上递增，在（0，+）上递增 9用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+）上为减函数 【解答】解：函数y=在区间（0，+）， 可以设0x1x2， 可得f（x1）f（x2）=0， f（x1）f（x2）， f（x）在区间（，0）上为减函数； 10已知函数f（x）=x+ （）用定义证明：f（x）在2，+）上为增函数； （）若0对任意x4，5恒成立，求实数a的取值范围 【解答】（）证明：任取x1，x22，+），且x1x2， 则f（x1）f（x2）=（x1+）（x2+）=， 2x1x2，所以x1x20，x1x24， f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）， f（x）=x+在2，+）上为增函数； （）解：0对任意x4，5恒成立， xa0对任意x4，5恒成立， ax对任意x4，5恒成立， a4 11证明：函数f（x）=在x（1，+）单调递减 【解答】证明：设x1x21，则： ； x1x21； x2x10，x110，x210； ； 即f（x1）f（x2）； f（x）在x（1，+）单调递减 12求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在1，+上是增函数 【解答】证明：在（0，1）内任取x1，x2，令x1x2， 则f（x1）f（x2）=（）（） =（x1x2）+ =（x1x2）（1）， x1，x2（0，1），x1x2， x1x20，10， f（x1）f（x2）0， f（x）=x+在（0，1）上是减函数 在1，+）内任取x1，x2，令x1x2， 则f（x1）f（x2）=（）（） =（x1x2）+ =（x1x2）（1）， x1，x21，+），x1x2， x1x20，10， f（x1）f（x2）0， f（x）=x+在1，+上是增函数 13判断并证明f（x）=在（1，+）上的单调性 【解答】解：f（x）=在（1，+）上的单调递减 证明如下： 在（1，+）上任取x1，x2，令x1x2， f（x1）f（x2）=， x1，x2（1+），x1x2， x2x10，x1+10，x2+10， f（x1）f（x2）0， f（x）=在（1，+）上的单调递减 14判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性 【解答】解：任意取x1，x2（0，2）且0x1x22 f（x1）f（x2）=x1+x2=（x1x2）+=（x1x2）， 0x1x22 x1x20，0x1x24， 即x1x240， f（x1）f（x2）0， 即f（x1）f（x2） 所以f（x）在（0，2）上是单调减函数 15求函数f（x）=的单调增区间 【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）=1的单调递增区间为（，0），（0，+） 故答案为：（，0），（0，+） 16求证：函数f（x）=1在区间（，0）上是单调增函数 【解答】证明：设x1x20，则： ； x1x20； x1x20，x1x20； ； f（x1）f（x2）； f（x）在区间（，0）上是单调增函数 17求函数的定义域 【解答】解：根据题意，得， 解可得， 故函数的定义域为2x3和3x5 18求函数的定义域 【解答】解：由 故函数定义域为x|x 19根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式 （1）f（x+）=x2+ （2）f（x）+2f（）=3x 【解答】解：（1）f（x+）=x2+=（x+）22， 即f（x）=x22，（x2或x2） （2）f（x）+2f（）=3x， f（）+2f（x）=， 消去f（）得f（x）=x 20若3f（x）+2f（x）=2x+2，求f（x） 【解答】解：3f（x）+2f（x）=2x+2， 用x代替x，得： 3f（x）+2f（x）=2x+2； ×3×2得： 5f（x）=（6x+6）（4x+4）=10x+2， f（x）=2x+ 21求下列函数的解析式 （1）已知f（x+1）=x2求f（x） （2）已知f（）=x，求f（x） （3）已知函数f（x）为一次函数，使ff（x）=9x+1，求f（x） （4）已知3f（x）f（）=x2，求f（x） 【解答】解：（1）已知f（x+1）=x2 ，令x+1=t，可得x=t1，f（t）=（t1）2，f（x）=（x1）2 （2）已知f（）=x，令 =t，求得 x=，f（t）=，f（x）= （3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k0， ff（x）=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，k=3，b=，或k=3，b=，求 f（x）=3x+，或f（