向量的数量积 教学设计

2.3.1向量数量积的物理背景与定义教材说明 平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题；夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。 平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决代数与几何问题中都有着很强的实用性。课型 新授课课时 1课时（练习 共2课时）学情分析 在学习平面向量数量积之前，学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的基本定理与坐标表示等有关内容，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用；在后继知识的学习中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面图形的有关性质。本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。教学内容分析教学的主要内容：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。教材的编写的特点：本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书·数学必修4（版）第二章、第3节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。 教学目标知识与技能：（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算；（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系.过程与方法： 通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想情感态度与价值观： 通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯教学重点和难点重点：平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用.难点：难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。教学策略选择与设计高中数学课程标准指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。高中数学课程标准还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。教学资源与手段资源：三角板，彩粉笔，电脑，多媒体。手段：通过师生互动，共同探讨生成新知，更加有助于学生探究能力的培养。教学过程设计教学环节教学过程师生活动设计意图情景引入1、给出有关材料并提出问题问题1：表示一个么角？SF （1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：。（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积提问学生易答：表示力的方向与位移的方向的夹角创设学生熟悉的问题情景，将学生自然的带入到课堂的教学内容中来。探究问 题，形成定义。探究问 题，形成定义。探究问 题，形成定义。探究问 题，形成定义。（1）探究两个向量的夹角的定义。问题2：你能指出下列图中两向量的夹角吗？ 问题3：对于两个非零向量，你能给出它们夹角的定义吗？ 问题4：思考向量夹角的范围问题5： 表示什么？sF（2）探究向量在方向上的投影问题6：对于两个非零向量，向量在向量方向上的投影为什么？你能从图中作出在方向上的投影吗？ （3）探究与的数量积.问题7：F（力）是 量， S（位移）是 量，W（功）是 量定义： 叫做与的数量积（或内积），记作：.即：=。（板书三）问题8：向量数量积的运算与线性运算的结果有什么不同?若是非零向量，设夹角为，完成下表：夹角的范围的符号问题9：根据投影的概念，数量积=的几何意义如何？ （板书四）问题10：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积（板书五）学生容易得到，学生可能会出现两种答案，教师给予指导 学生思考回答，教师予以补充，关键是点出两向量起点相同，并给出夹角符号有了问题2的铺垫，学生容易得出0，教师强调同向时为0，反向时为.教师补充：（1）当=时，向量与向量互相垂直，记作.（2）在讨论垂直问题时规定：零向量与任一向量垂直.生答：力F在位移方向上的分量师补充：我们把称为力F在位移S方向上的投影师生共作向量在方向上的投影图象。对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，将公式中的力与位移推广到一般向量与。怎么来规定的含义?教师强调记法，中的“”不可少，不可写成.学生回答。学生自己动手完成表格。学生回答。对于易错点加以强调。通过提问，由学生自己生成定义，印象更为深刻。由师生合作共同完成，拉近师生距离，增进师生感情。以上两个环节都是从物理模型中抽象出我们要研究的概念，通过具体问题引领学生得到精确定义，且由形到数的研究方法符合认知规律。由于课标中明确要求“体会平面向量的数量积与向量投影的关系”，因此我舍弃B版教材中向量在轴上的正射影和向量在轴上的数量两个概念，而选用其他版本的投影的概念。通过此问题不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质作好铺垫。通过此问题让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积。练习巩固，总结性质。练习1：已知求. 已知求. 已知求.已知求.已知求.已知求.问题11：(1)尝试将练习中的的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？ (2) 比较与的大小,你能得到什么结论？性质：当与同向时，；当与反向时，.特别地即求长度。且-证垂直。如果是单位向量，则即向量与单位向量的数量积就是向量在向量方向上的投影.-求夹角.学生作答。学生讨论。是为了巩固数量积定义，分别设置了同向、反向、垂直的两个向量，为学生总结性质做好铺垫， 为单位向量时，即为在方向上的投影，是让学生学会使用数量积表示角，体会数量积的初步应用在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，证明留待课后学生尝试加以证明。本环节通过学生动手实践，一是巩固数量积定义，二是渗透由特殊到一般的思维方法，培养学生归纳概括的能力辨析质疑，初步应用。练习2：(1)判断正误，并简要说明理由. 0； 0； ；若，则对任一非零有；，则与中至少有一个为；与是两个单位向量，则.若，则.(2)已知ABC中，,，当或时，试判断ABC的形状。通过（1）使学生在与向量的线性运算、实数乘法运算比较的基础上全面认识数量积这一重要运算.通过（2）使学生感受数量积在三角形中的应用价值。小结提升1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、平面向量数量积的基本应用是什么？3、你收获了哪些研究问题的方法？通过小结使学生进一步理解和贯通本节课所学内容。板书设计向量数量积的物理背景与定义一、与的夹角       练习二、在方向上的投影 三、与的数量积 1、定义 4、性质 2、几何意义 3、物理意义作业布置1、课本P115练习A 1、22、已知，在方向上的投影为-7，求.3、判断正误，错误的举出反例，正确的尝试证明.=;作业1、2主要是为了巩固本节课所学内容，由学生独立完成；作业3是下节课的内容，希望学生合作交流，尽可能多得解决问题。9