【8A版】不动点定理及其应用(高考)

【MeiWei81-优质实用版文档】摘要本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式.其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.关键词：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.AbstractThisarticlefirstlyintroducedtheFiGpointTheoreminBanachspace,theone-dimensionaleGtendedformoftheFiGpointTheoreminotherlineartopologicalspaceandtheeGtendedformingeneralcompletemetricspace.Then,wesummarizedtheproblemonsequenceofnumberusingFiGpointTheorem,analyzingthecharacteristicsoftestsemergedonmathpapersofallpartsofourcountryrecentyears,includingtheproblemofgeneraltermandboundednessofasequenceofnumber.Atlast,attractivefiGpointandrejectionfiGpointinFiGpointTheoremwereintroducedwhichcansolvetheproblemaboutthemonotonicityandastringencyofsequenceofnumber.撤消修改Keywords:BanachfiGedpointtheorem,Sequence,Boundedness,MonotonicityConvergence.目录第1章 绪论11.1导论11.1.1 选题背景11.1.2 选题意义21.1.3 课题研究内容21.2 研究现状21.3本章小结3第2章 不动点定理42.1 有关概念42.2 不动点定理和几种推广形式42.3 本章小结7第3章 不动点定理在数列中的应用83.1 求数列的通项公式83.2 数列的有界性93.3 数列的单调性及收敛性113.3.1数列的单调性、收敛性的重要结论113.3.2数列的单调性、收敛性的证明143.4 本章小结17第6章 结束语18参考文献19【MeiWei81-优质实用版文档】第1章绪论1.1导论不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论1在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论21927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念3我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理4不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体5上的映射,不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)6，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理6这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论1.1.1选题背景不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用.函数的"不动点"理论虽然不是中学教材的必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.已知递推公式求其数列通项，数列有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键因此，它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一，尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.1.1.2选题意义利用“不动点”法巧解高考题，递推公式求数列的通项，证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此本文对函数“不动点”问题的研究结果，来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义.1.1.3课题研究内容本文通过介绍不动点定理的证明，不动点定理的迭代思想和不动点定理的推论，研究了以下的内容：利用不动点定理的迭代思想，简化求递推数列的通项问题.以不动点定理为指导思想，证明数列的有界性.利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题1.2研究现状不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却又是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善.不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于著名的巴拿赫（Banach）压缩映射定理，如今已广泛应用于数学分析的各个方面.许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的关于流形的映射2一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数把单位闭区间映到中，则有，使.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题.近年来，有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题，将拓扑学不动点定理的一些基本思想，采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去，扩大中学生的知识领域，加深中学生对数学基础知识的掌握.在中学中，不动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题，例如以“不动点”为载体、将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题，从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的.1.3本章小结本章介绍了选题的背景和意义，并对课题的要求和研究内容作了分析，对不动点定理的现况作了概要性的说明，是不动点定理及其应用的前期研究基础.第2章不动点定理2.1有关概念函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数的取值过程中，如果有,使.就称为的一个不动点对此定义，有两方面的理解：代数意义：若方程有实数根，则有不动点几何意义：若函数与有交点，则为的不动点为了介绍不动点的一般概念，本文先介绍以下相关概念.定义17度量空间:设是一个集合，.如果对于任何，有（正定性）,并且当且仅当；（对称性）；（三角不等式），则称是集合的一个度量,偶对是一个度量空间.定义27压缩映射：给定如果对于映射:存在常数,使得，则称是一个压缩映射.定义37Cauchy列：给定,若对任取的,有自然数使对,都成立则称序列是Cauchy列.定义47完备度量空间：给定，若中任一Cauchy列都收敛,则称它是完备的.定义58不动点：给定度量空间及的映射如果存在使则称为映射的不动点.定义69凸集：设是维欧式空间的一点集，若任意的两点的连线上的所有的点;则称为凸集.2.2不动点定理和几种推广形式不动点理论是关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程，诸如代数方程、微分方程、函数方程等，种类繁多，形式各异，但是它们常能改写成的形状这里的是某个适当的空间中的点，是到的一个映射，把每个移到.方程的解恰好就是在这个映射下被留在原地不动的点，故称不动点，于是解方程的问题就是化成了找不动点的这个几何问题，不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.首先,本文介绍Banach不动点定理的证明定理l（Banach不动点定理压缩映射原理10）设是一个完备的度量空间是到其自身的一个压缩映射,则在中存在惟一的不动点.证明首先,证明存在不动点取定以递推形式确定一序列是Cauchy列.事实上，由任取自然数,不妨设那么从而知是一Canchy列,故存在使且是的不动点,因为故,即,所以是的不动点.其次,下证不动点的惟一性设有两个不动点,那么由及有设,则,得到矛盾，从而，唯一性证毕.作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设是Banach空间，为中非空紧凸集，是连续自映射，则在中必有不动点.Sehauder不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意，是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集，有下面定理，我们称其为Schauder不动点定理II：定理3设E是Banach空间，为中非空凸集，是紧的连续自映射，则在中必有不动点.定义6设是线性拓扑空间，如果中存在由凸集组成的零邻域基，则称是局部凸的线性拓扑空间，简称局部凸空间.1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理：定理4设是局部凸线性拓扑空间，是其中的非空紧凸集，是连续自映射，则必有不动点，即存在，使得.1950年，Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到下面的定理，我们称其为Sehauder-Tychonoff不动点定理：定理5设是局部凸线性拓扑空间，是其中的非空凸集，是紧连续自映射，则必有不动点，即存在，使得.从20世纪30年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题.所谓集值映射的不动点，定义如下：定义7设是拓扑空间，是集值映射，其中表示的所有非空子集的集合.若存在，使，则称是的不动点.1941年，kllcIltani把Bmuwer不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani不动点定理：定理6设是凸紧集，且是具闭凸值的上半连续集值映射，则必有不动点.1950年，Botmenblust，Karlin把Sehauder不动点定理I推广到集值映射的情形：定理7设是Banach空间，是中的非空紧凸集，是具有闭凸值的上半连续集值映射，则必有不动点.1952年，Fan，Glicksberg分别把Tyehonoff不动点定理推广到集值映射的情形，成为Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理或K-FG不动点定理.即：定理8设是局部凸的Hausdorff线性拓扑空间，是中的非空紧凸集，是具有闭凸值的上半连续集值映射，则必有不动点.1968年，Browder又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为Fan-Browder不动点定理：定理9设是Hausdorff线性拓扑空间E中的非空凸紧子集，集值映射满足：(1)对任意，是中的非空凸