中考数学-锐角三角函数(含答案)附中考真题精选
【MeiWei_81重点借鉴文档】20RR年中考数学一轮复习精品讲义第二十七章锐角三角函数本章小结小结1本章概述锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握小结2本章学习重难点【本章重点】通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题【学习本章应注意的问题】在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力小结3中考透视这一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函数值及几个三角函数间的关系，主要题型是选择题、填空题另外解直角三角形在实际问题中的应用也是考查的一个重点，主要题型是填空题和解答题，约占37分知识网络结构图直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题专题总结及应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主例1如图28123所示，在RtABC中，ACB90°，BC1，AB2，则下列结论正确的是()AsinABtanACcosBDtanB分析sinA，tanA，cosB故选D.例2在ABC中，C90°，cosA,则tanA等于()ABCD分析在RtABC中，设AC3k，AB5k，则BC4k，由定义可知tanA故选D.分析在RtABC中，BC3，sinA故填专题2特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值例4计算|3|2cos45°(1)0分析cos45°解：原式32×12例5计算(1)20RRcos60°分析cos60°解：原式3(1)312例6计算|(cos60°tan30°)0分析cos60°，tan30°，cos60°tan30°0，(cos60°tan30°)01，解：原式1十231例7计算(3.14)0|1tan60°|.分析tan60°.解：原式811210.专题3锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.例8如图28124所示，在ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC14，AD12，sinB(1)求线段DC的长；(2)求tanEDC的值.分析在RtABD中，由sinB，可求得BD，从而求得CD由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DEACEC，则EDCC，所以求tanEDC可以转化为求tanC.解：(1)AD是BC边上的高，ADBC在RtABD中，sinBAD12，sinB，AB15，BD9BC14，CD5(2)在RtADC中，AEEC，DEACEC，EDCCtanC,tanEDCtanC例9如图28125所示，在ABC中，AD是BC边上的高，tanBcosDAC.(1)求证ACBD；(2)若sinC，BC12，求AD的长分析(1)利用锐角三角函数的定义可得ACBD(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长证明：(1)AD是BC边上的高，ADBC，ADB90°，ADC90°在RtABD和RtADC中，tanB，cosDAC，tanBcosDAC，ACBD.解：(2)在RtADC中，sinC，设AD12k，AC13k，CD5kBCBDCD，ACBD，BC13k5k18k由已知BC12，18k12，k，AD12k12×8例10如图28126所示，在ABC中，B45°，C30°，BC3030，求AB的长分析过点A作ADBC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设ADR，把BD，DC用含R的式子表示出来，再由BDCDBC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在RtABD中求得解：过点A作ADBC于D，设ADR.在RtADB中，tanB，BDR，在RtADC中，tanC，CDR又BDCDBC，BC3030，RR3030,R30在RtABD中，sinB，AB30.专题4用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法例11如图28127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A到水平地面上的距离AB(1)画出测量示意图；(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)；(3)根据(2)中的数据计算AB解：(1)测量示意图如图28128所示(2)测量步骤第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角AHE.第二步：沿CB方向前进到点D，用皮尺量出C，D之间的距离CDm第三步：在点D安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角AFE.第四步：用皮尺测出测角仪的高h(3)令AER，则tan，得HE.又tan，得EF，HEFEHFCDm，m，解得RABh例12如图28129所示，一条小船从港口A出发，沿北偏东40°方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到达C处，则此时小船距港口A多少海里?(结果保留整数，提示：sin40°0.6428，cos40°0.7660，tan40°08391，1.732)分析此题可作CDAP构造直角三角形求AC，而CD，AD的长可转移到其他三角形中解决，可作BEAD，CFBE，CF，BF在RtBCF中可求，进而求解解：如图28130所示，过点B作BEAP，垂足为点E，过点C分别作CDAP，CFBE，垂足分别为点D，F，则四边形CDEF为矩形，CDEF，DECFQBC30°，CBF60°AB20，BAD40°，AEAB·cos40°20×0.766015.3，BEAB·sin40°20×0.642812.85612.9又BC10，CBF60°，CFBC·sin60°10×58.7，BFBC·cos60°10×0.55，CDEFBEBF12.957.9DECF8.7，ADDEAE8.715.324.0，由勾股定理得AC25，即此时小船距港口A约25海里【解题策略】正确理解方位角，作出恰当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键例13如图28131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得CAD45°，又在距A处60米远的B处测得CBA30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保留小数点后两位)分析本题可作CEAB，垂足为E，求出CE的长即为河宽解：如图28131所示，过点C作CEAB于E，则CE即为河宽，设CER(米)，则BER60(米)在RtBCE中，tan30°，即,解得R30(1)81.96(米)答：河宽约为8196米【解题策略】解本题的关键是设CER，然后根据BEABAE列方程求解例14如图28132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米秒，在水中游泳的速度都是2米/秒若BAD45°，BCD60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B(参考数据1.4，1.7)分析在RtABD中，已知A45°和AD，可求AB，BD，在RtBCD中，可利用求出的BD和BCD60°求出BC，然后根据计算出的数据判断谁先到达解：在RtABD中，A45°，D90°，AD300，AB300.tan45°，即BDAD·tan45°300在RtBCD中，BCD60°，D90°，BC200，CD100.1号救生员到达B点所用的时间为150210(秒)，2号救生员到达B点所用的时间为50192(秒)，3号救生员到达B点所用的时间为200(秒)192200210.2号求生员先到达营救地点B.【解题策略】本题为阅读理解题，题目中的数据比较多，正确分析题意是解题的关键例15如图28133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由分析本题可作CDAM于点D，在RtBCD中求出CD即可解：过点C作CDAM，垂足为点D，由题意得CBD60°，CAB30°,ACB30°，CABACB，BCAB24×12(海里)在RtBCD中，CDBC×sin60°6(海里)69，货船继续向正东方向航行无触礁危险【解题策略】此题实际上是通过C(半径为9海里)与直线AM相离判断出无触礁危险.例16如图28134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE15米，求这块广告牌的高度(1.73，结果保留整数)分析由于CDCEDE，所以可分别在RtAED和RtBEC中求DE，CE的长，从而得出结论解：AB8，B
