高中数学函数：题型分类
高中数学函数学生常见问题以及函数常见题型、解法指导一、学生常见问题：（一）、认知层面的问题：这个问题是在高一学习函数时就一直在困扰学生的问题。我们要了解高一学生在学习数学时产生困难的原因，首先要了解学生的数学认知结构。即学生在对数学对象、数学知识和数学经验感知和理解的基础上形成的一种心理结构。通俗地说：数学认知结构就是人们按照自己的经验与理解，根据自己的感知、记忆、思维的特点，把数学知识在大脑中组合而成的具有内部规律的整体结构。数学认知结构受个体认知特点的制约，具有浓厚的认知主体性与鲜明的个性色彩。高一新生在学习数学时的困难正是由于数学认知结构的特点所决定。高一新生在学习高中数学时，碰到的困难比如无法理解函数的概念，无法建立对应的观念，对集合的概念理解不够透彻等问题，导致高中数学的学习存在很大的困难。（二）、基础知识层面的问题：在进行高三复习的时候，同学们普遍的反映都不太好。原因在于，同学们感觉学校老师复习得很快。学校老师的讲课思路是先大致的把知识点串讲一遍，接着在课上做一些例题，课后给同学发一些卷子以做为练习，这些练习在做完之后老师也不一定会仔细的讲解，知识点的落实也不太扎实。因此同学感觉老师的复习很快。（因此这里学生会出现的问题就是基础知识不扎实）那么我们在具体的操作中，首先应该了解学生复习的程度。在总复习的过程中侧重于整体性，所以可以先了解一下学生是否有一个整体的框架。（框架的作用是帮助PEC检查学生的知识体系是否完善）函数被分成了两块：横轴和纵轴。（参见策略库函数基本概念第一部分）六大基础函数抽象函数复合函数三要素性质图像接下来，就是要求学生能够对这个表格里的每个点都比较了解。（框架完善了，就要看基础知识点是否真的落实）首先这六大基础函数，学生是否都了解呢？包括：正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数。只有指数函数和对数函数是在高中的时候新学的，其他函数都是以前的时候就学过的。但是在考试当中会结合到一起，尤其是二次函数。抽象函数就是在考察的时候只告诉函数的一些基本性质，进行一些证明等等。复合函数就是这种形式的函数，因此在跟学生交流的时候，如果学生没有这样一个整体知识框架，可以让学生首先熟悉这一块的内容，因为这是属于知识层面比较基础的部分。函数性质和图像的内容，同样要看学生是否都知道，如果掌握的不是特别清楚，那么都属于基础知识层面的问题。（三）、（接下来）基本题型的问题可以按照表格中体现出的顺序来考察学生基本题型的能力。（1）定义域相关的基本题型两类：1.给定函数式，在函数式当中有些限定性的条件，如存在，以及对数要求大于零，以及存在分母（分母不能为零）等等基本的方式去求定义域。2.复合函数求定义域的问题。复合函数求定义域是很严格的。就是这样一层一层的函数顺序下来要求的。如，首先就要求其中必须符合的定义域的要求；其次我们才去看各自要按照哪个函数要求去求定义域，需要符合函数的定义域要求，需要符合函数的定义域要求。其实就是两点：首先，只要是同一函数对应法则，括号内的式子的范围都是一样的。第二点就是求定义域，是求最核心的自变量的范围。（2）值域相关的基本题型（其实关键的就是几种方法）1.二次函数的值域问题。而且这是最为关键的问题。简单的二次函数，就可以通过顶点和最值等来求值域。困难的地方在于函数有参数的问题。带有参数的二次函数值域的问题也被我们称为限定性的二次函数求值域问题。也就是说，自变量的取值不是全体实数，而是在一定范围之内，如，求函数的值域的问题。解决的办法只有一种，即分类讨论。分类讨论时需要注意的是，对称轴是在a的左端、在b的右端还是位于区间之内，因此需要分类讨论的就是分这三类。（这个问题只要反复的练是可以达到效果的）2.换元法（也是最常用的方法），转换成二次函数。这种题的特点是，题目中的自变量的次数关系是倍半关系，如，都可以利用换元的方法把题目转换成上面第一类的问题。3.利用函数的单调性求值域。当前两种办法不能用的时候，都可以考虑函数的单调性。因此这里存在函数是否存在单调性的问题。有两种方式，一种就是平时题目的积累；一种就是猜测，去试这个函数的单调性(因为知道单调性要去证明单调性并不是一个困难的问题)，单调性的利用其实也是在利用函数的图像。4.运用均值不等式。但是均值不等式适用的范围比较窄，且函数的形式也是比较固定的。一般来说都是函数带有分母的。如等这样的形式可以利用均值不等式。5.数形结合。这种类型的题目也是比较特殊的。一般的形式如，两个根号的和的形式。根号下的函数可以转化为点线的距离和两点间的距离。6.反解法。这种方法也就是说这个函数的定义域是比较清晰的，就可以写出反函数，利用反函数来求原函数的值域。这种方法要求原函数得存在反函数，即是一一对应的。这样反函数才存在，才可以反解。7.“”法。这种方法适用于这种形式的函数，“”法就是把分母乘到左边去，然后整理成一个关于降幂排列的方程，然后利用来求的取值范围。这些方法中，常用的就是1、2、3、7这几种方法。其他的几种就题型也是比较单一的。（3）求解析式（方法比较少，考得也不多）1.配 和 凑利用它的形式，凑出这样的形式，这要求学生做题目比较有感觉。2.待定系数法。即设，再利用已知条件把的取值确定。（4）单调性、周期性、奇偶性、对称性1.首先，得知道这几个性质的概念各自的确定的含义。学生面临的问题就是比较偏向于用一个特定的数代入函数，以此来判断函数的单调性或者奇偶性等。其实核心在于他们对于恒成立这个概念的理解存在偏差，比较模糊。因为函数的性质是对于定义域范围内任意的x都成立的。因此，在证明的过程中，不能用一些特定的数代入函数，因为这只是猜测函数的性质的一种方法。2.各种性质的代数形式。单调性：定义域内 单调增奇偶性：定义域内 为偶函数 为奇函数周期性：定义域内 a为周期对称性：包括关于轴对称，关于点对称， 如关于函数关于对称，则这个可以让学生去归纳。3.解题时，题目基本都是抽其中的一条性质或者两条性质结合起来考查。如 说到奇偶性 如周期性 在三角函数里运用的比较多 另外就对称性就跟刚才需要学生去总结的内容相同。二、解决学生认知障碍的策略：（1）在高一新学期开始之时，做好如下几件事：一是要对学生进行高中数学知识结构特点和知识系统构成的讲解，使其尽快进入角色，尽快适应高中数学知识学习的要求。二是要帮助学生尽快调整相关心理结构，以尽快适应高中数学的认知结构。可以从认知方法、认知结构及认知层次等方面，给学生讲清初中与高中的认知差异及调整方法，从而帮助学生及早做好心理上的准备。三是要从高中与初中数学的思想方法和学习方法等方面给学生讲清二者之间的差异，让学生了解高中数学的思想方法和学习方法，为学习高中数学知识作好思想和方法上的准备。具体可以从初、高中的教材教法、思想方法和学习方法的差异入手进行调整，与高中比较，初中明显存在着时间多、形象记忆多、强化训练多，教材内容少、抽象思维少、灵活应用少；让学生了解在初中通过强化记忆和题海战术来提高成绩是可能的，甚至是行之有效的方法。但将此类方法克隆到高中的学习中则是行不通的，甚至是根本不可能实现的。 （2）注重对比。从学生初中的数学知识和数学经验与新的高中数学知识的矛盾入手帮助学生消除数学认知障碍，尽快实现高中数学知识与初中数学知识和知识经验的重新组织。在这方面要充分发挥教师的主导作用，充分利用课堂教学的便利条件，在课堂教学过程中要有意识地进行新、旧知识和新、旧方法的对照、比较。让学生通过自己的观察、比较、反思、总结、批判达到吸收、消化、升华的目的。实现新的数学知识与初中的数学经验、数学知识互相促进、协调发展。 （3）对于那些习惯于知识堆积的同学要有意识地对其进行高中数学思维特征及思想方法的辅导。一方面要积极发挥其直观、形象记忆好的优势，另一方面要通过课堂教学发展其抽象、形式的思维方法，树立学习信心，培养学习兴趣，以期尽快消除数学认知的障碍，走出数学学习的误区。 （4）形象直观。由数学认知结构层次不同造成的数学认知障碍，解决方法是教师要通过课堂教学积极地加以引导，课堂教学要充分利用学生的直观、形象思维好的特点，在抽象性较强的概念教学时要通过创设恰当的问题情景与学习情景从实际问题和形象化入手，直观、形象的自然引入，尽量避免过多的抽象性讲解，帮助学生尽可能的缩短适应高中数学认知结构的过程，减少由于数学认知结构的层次不同所带来的认知障碍的负面影响。 （5）针对学生由于数学认知结构的动态性所造成的认知障碍，还是要从动态性入手加以解决。首先要从其心理上加以调整，要学生明确这种心理障碍的存在是客观事物发展的必然规律，是人人都必须面对的客观事实，是每一个同学都会遇到的必然矛盾，它的存在并不可怕。关键是我们如何面对。正确的态度是认真对待、理智应对，尽快找到解决问题的方法，尽早消除此类认知障碍。其次在日常教育教学过程中要充分发挥数学认知结构动态能动性的积极作用，当新的问题情景出现的时候要积极引导学生用他们过去已有的数学认知结构对所面临的问题进行加工和处理，在这个过程中教师要通过创设不同的问题情景，强化新、旧知识结构和新、旧认知结构之间的联系，引导学生不断的补充、修正过去已有的知识结构和认知结构，加快建立新的知识结构和认知结构，以尽快适应高中数学知识结构和认知结构的要求。 心理学的研究表明，认知一致性是人们认知结构发展的心理机制。无论是新概念的引入、新命题的发现，还是新问题的解决，都能导致学生的数学认知结构出现失衡。而在学生的学习过程中，通过概念的掌握、技能的形成以及数学问题的解决，其数学认知结构将会取得新的平衡。在旧的认知结构平衡被打破、新的认知结构平衡重新建立的过程中，数学教师起着重要的作用，只要我们能持之以恒，不断研究，就能够在一定程度上消除数学认知障碍，实现认知结构的平衡与和谐，从而实现有效学习，达 到掌握学习的目的。函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.其中复合函数定义域的问题就是定义域中最复杂的问题，核心在于对函数的定义域概念的理解。（单纯考察定义域）例1已知函数的定义域为M，g(x)=的定义域为N，则MN= （A） （B） （C） （D）命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解：函数的定义域M= g(x)=的定义域N=MN=故选C（考察常见函数的定义域）例2. 函数的定义域是( )（A）(3,+) （B）3, +) （C）(4, +) （D）4, +)命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由，故选D.（复合函数的定义域）例3若函数的定义域是0，1，求的定义域；若的定义域是-1，1，求函数的定义域；已知定义域是，求定义域点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答： 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数函数的定义域是0，1，B=0,1，即函数的值域为0，1，即，函数的定义域0， 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定义域是-3，1点
