数学建模论文(1999 B题)

数学建模论文（1999年 B题） - 10 -钻井布局摘要 本文主要讨论钻井布局问题，即点重合（或近似重合）问题。利用坐标变换，我们将P点变换到网格N所在的坐标系，从而得到P点在新坐标系上的分布图。为了使分布图更加直观易读，我们引入相对坐标的概念，以相对坐标取代一般坐标。再参照P点在单位模型里的分布情况，借用考察参考正方形或圆形就能直观地判断最大可利用旧井数。问题一：我们首先在Pi所属平面建立坐标系xoy，在网格N所属平面建立坐标系x'o'y'。用P位于单位网格内的相对坐标Pi(a'i,b'i)取代P位于原坐标系xoy的一般坐标Pi(ai,bi)。将各单位网格及其中的P点作为单位模型，令单位模型彼此重叠，得到所有Pi在单位模型中的分布情况。具体操作时直接取Pi(ai,bi)的小数部分作为在分布图中的坐标Pi(a''i,b''i)。取边长为0.1单位的正方形S为参考正方形，考察Pi(a''i,b''i)点在单位网格中的分布情况。平移正方形S，当S中存在最多点P时，可利用旧井数达到最大，据此可得最优网格N。本题中可利用旧井数最多为4个，它们是：（1.41,3.50），（3.37,3.51），（3.40,5,50），（8.38,4.50）。满足该条件的网格数不唯一，我们选择该正方形S的几何中心（0.4,0.5）作为新网格原点，即将原始网格右移0.4个单位，上移0.5个单位，也即按照向量（0.4,0.5）平移后得到符合条件的新网格N'。问题二：基于题1的模型，修正P相对坐标的变换方式、更换考察图形即可得题2的模型。由于网格N可旋转，P坐标需先进行旋转变换，角度，其范围为0度90度，即坐标左乘变换矩阵，得到Pi(a'i,b'i)，再按照题1模型生成方式将Pi(a'i,b'i)化为相对坐标Pi(a''i,b''i)，得到相应分布图。根据欧式距离的定义，采用直径为0.1的圆形作为考察图形。平移考察圆形C，当C中存在最多点P时，可利用旧井数达到最大，据此可得最优网格N。根据题设求出可利用旧井数最大为6个，它们是（0。50,2.00），（4.72,2.00），（4.72,6.24），（5.43,4.10），（7.57,2.01），（8.98,3.41），将原始网格N按照圆形C的圆心（0.94,0.75）右移0.94个单位，上移0.75个单位，逆时针旋转44.6°45.6°得到新的网格N'均可满足条件。问题三：本题是对题2的进一步推广。经过坐标变换后，位于考察正方形或考察圆形内的P可认为与相应的结点重合。本文以Pi是否全部落入考察图形作为判定条件。根据对距离的不同定义，我们给出两个判定条件：判定条件1： 判定条件2：该判定过程可由计算机编程实现，模型使用时只需输入需判定的Pi全部坐标，由计算机处理后返回是否满足条件，若旧井可被全部利用还返回网格N的形成方法。简化模型，增加模型实用性与可操作性，尽可能将繁复的计算判定工作交由计算机处理是本模型的最大优点。关键词 坐标变换；相对坐标；分布图；参考图形；单位模型重叠- 1 -1. 问题重述勘探部门在某地区找矿。初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井，取得了地质资料。进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探。由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合（或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用。比如钻一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的费用为10万元，则利用一口旧井就节约费用490万元。设平面上有n个点Pi，其坐标为(ai,bi),i=1,2,n，表示已有的n个井位。新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点（所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵线和横线的交叉点）。假定每个格子的边长（井位的纵横间距）都是1 单位（比如100米）。整个网格是可以在平面上任意移动的。若一个已知点Pi与某个网格结点Xi的距离不超过给定误差（=0.05单位），则认为Pi处的旧井资料可以利用，不必在结点Xi处打新井。为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题： 1） 假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向），并规定两点间的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。在平面上平行移动网格N,使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法，并对下面的数值例子用计算机进行计算。 2） 在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固定（可以旋转）的情形，给出算法及计算结果。 3） 如果有n口旧井，给出判定这些井均可利用的条件和算法（你可以任意选定一种距离）。 数值例子 n =12个点的坐标如下表所示： i123456789101112ai0.501.413.003.373.404.724.725.437.578.388.989.50bi2.003.501.503.515.502.006.244.102.014.503.410.802. 模型假设1) 已有的旧井位两两不靠近，确保网格位置确定后不会出现一个结点有两口旧井与之重合的情况；2) 系统勘探时期，钻井位置的选择具有随机性，即任意钻井方案都是等可能的；3) 任意符合要求的钻井位置均是可实现的，不考虑其它现实性因素的影响。3. 符号说明1) 点集Pi :表示已有点（即旧井）；2) Xi ：网格结点；4. 问题分析由问题重述可知，钻井布局问题可简化为定点Pi与动点Xi或动点Pi与定点Xi在一定条件下重合（或近似重合）的问题。考虑到Pi点分布不规则，且相对点集X而言数量固定，在实际情况中又多为已知条件，而Xi点虽数量不定，但均匀分布在网格N上，各点之间相互联系，在一定前提下完全可以以其中一点X0作为参考点，准确表示点集X，继而得到网格N的具体位置。因此，本文将以Pi为定点，考虑在Xi变化即网格N移动的情况下，如何获得N的最优位置，以此确定新井的布局。最优位置：能够使得尽可能多的点Xi 与点Pi重合（或近似重合）为了描述方便，我们将变换前后网格看成两个不同的坐标系，两个坐标系之间存在相互转化关系，Pi所在坐标系记为xoy，Xi所在坐标系记做x 'o 'y ' ，将坐标系转化问题转化为点在变化坐标系中坐标变化问题。4.1. 网格N平行移动，Pi与Xi尽可能多重合图0-1P0X0由于Xi均匀分布在网格N上，且各结点距离恒定为1，因此，可将每个单位网格作为单位模型进行讨论。在定点Pi中任取一点、在网格N中任取一单位网格，分别记作P0,N0，该单位网格左下角结点记作X0，由此构成单位模型（如图4.1-1所示）。固定P0，由于网格N0可移动，易知其余结点的情况与X0类似，可视为等价，故在此仅考虑P0与X0重合的情况。图4.1-1中，阴影部分为边长为0.1单位的正方形S，其几何中心为结点X0。依题设所述，当P0落在正方形S内部时，我们可以认为P0与正方形S的几何中心X0重合，由此可得到一个以X0为原点的坐标系x'o'y'，从而得到以坐标轴为边界的网格N。在假设Error! Reference source not found.的前提下，Pi最多在一个单位网格内，且最多与一个结点重合，各个单位网格内部情况相互独立，并不相互影响。网格N平行移动时，坐标系xoy与坐标系x'o'y'始终保持平行，由此我们考虑直接将各个网格重叠，在单位网格中观察Pi的分布情况。利用边长为0.1单位的正方形S对Pi进行考察，当有最多P点落在S内部时，Pi与Xi重合最多，由此产生的网格N可以满足“可利用的旧井数尽可能大”的条件。4.2. 网格N可旋转，Pi与Xi尽可能多重合图4.2-1P0X0由于本题中网格N可以旋转，故坐标系xoy与坐标系x'o'y'不再始终保持平行，直接重叠各个网格不可行。为了利用题1的方法，我们可以利用坐标变换对在坐标系xoy下的Pi坐标进行处理，使其具有在坐标系x'o'y'下的坐标，由此转化为题1的形式。由于需要采用欧氏距离，本题中将正方形S改换成圆形C即可，其圆心为X0，直径为0.1单位（如图4.2-1）。 欧氏距离：d = sqrt(x1-x2)2+(y1-y2)2）图4.3.14.3. 判定全部Pi与Xi重合由以上分析可知，当单位方格中的Pi全体落入正方形S或圆形C时，可认为全部Pi与图形的几何中心X0重合，即存在网格N满足任意Pi均有与之重合的结点X。参照单位模型的形成过程就可以给出判定这些井均可利用的条件，利用编程等方法就能方便的进行判定。如图4.3.1所示，将全部P点经坐标变换后蜕化到单位模型中，用参考正方形或参考圆形考察全部P的分布情况。5. 模型准备将坐标系平面形象为由N个网格构成的模式，并根据公式将各点蜕变到一个网格中，即将其坐标进行平移旋转之后落在第一个网格中再进行讨论判断，通过使之满足与题目要求等价的在该单位网格中的位置要求，从而确定网格的一个结点位置和方向就可以确定整个网格位置，由N化为“1”，将复杂多变的变得简单明了，大大简化模型。5.1. 线性变换设和分别是同一个纯量域F上的维向量空间和维向量空间；设和分别是和的基。我们可以分别用同构和把和中的向量表示成F上的元组和元组。一个线性变换是一个函数，使得对于任意纯量和以及向量和，都有.一个矩阵可以用下述方式对应一个线性变换：向量当且仅当，这时就称矩阵A表示线性变换T（关于基和）；表示矩阵A与基的选择有关。5.2. 旋转变换简称旋转.欧氏几何中的一种重要变换.即在欧氏平面上(欧氏空间中),让每一点P绕一固定点(固定轴线)旋转一个定角,变成另一点P',如此产生的变换称为平面上(空间中)的旋转变换.此固定点(固定直线)称为旋转中心(旋转轴),该定角称为旋转角.旋转是第一种正交变换. 假设初始点中心点矩阵(表示转置,为从到的旋转角差值)。那么证明： 设圆心为,半径为的圆C为:，则P点位于圆上,设向量与x轴夹角是;另设一点P'在圆上，且向量与向量的夹角是,可得: 由于:，得到:代入得: 即，其中 6. 模型建立和求解图6.1.16.1. 在平面上平行移动网格N,使可利用的旧井数尽可能大我们首先在Pi所属平面建立坐标系xoy，在网格N所属平面建立坐标系x'o'y'。初始状态下，假设坐标系xoy与坐标系x'o'y'的原点及坐标轴重合。在坐标系xoy上标注Pi坐标，由此得到旧井的分布情况。根据题中所给具体数据，得到n=12时旧井分布如图6.1.1。根据假设1)，我们认为Pi在坐标系xoy平面内随机分布，P点落在平面内各点的可能性相同，且任意点P均为孤立点，各点之间的分布情况互不影响。P的坐标分布具有随机性，独立性。当P点坐标确定之后，假设此时网格N也确定，则P点在坐标系x'o'y'下的坐标也确定下来，P点相对于其所在网格的位置也随之固定。因此，P所在位置可由在单位网格中的相对位置表示。我们用P相对于单位网格的相对坐标Pi(a'i,b'i)取代P相对于原坐标系xoy的一般坐标Pi(ai,bi)。根据问题分析4.1，我们将每个网格及其中的P点作为单位模型。如上所述，