精校word版---高考第九讲 介绍“Z+Z”的工具箱—平面几何（之一）

1 高考第九讲 介绍“Z+Z”的工具箱平面几何（之一） 平面几何是 Z+Z 智能教育平台的另外一个有用的工具箱，利用它不仅可以方便地 制作教学需要的课件，更重要的是它给学习者提供了一个多功能交互式的通过“做”几何 的方式发现图形性质的“数学实验室” 。 如果说与大家比较熟悉的几何画板比较，Z+Z 智能教育平台的初中代数工具 箱提供的快速数字计算、符号演算与自动求解等主要功能是几何画板所不具备的，那 么 Z+Z 的平面几何工具箱与几何画板比较起来，两者有什么不同呢？我们在下面 将介绍它的一些具体功能时对两者加以对比。我们将指出， 平面几何工具箱涵盖了几 何画板的全部功能，但在智能画图方面优于后者，特别是机器证明的功能是几何画板 所不具备的。 下面让我们进入 Z+Z 的平面几何工具箱 一、进入一、进入平面几何平面几何的界面的界面 双击桌面上平面几何的快捷方式图标，就打开了它的工作界面（如下 图） ，从上到下由“标题栏”、 “菜单栏”、 “工具栏”、 “工作区（主窗口） ”和“状态栏” 五部分组成。 标题栏 菜单栏 工具栏 主窗口 状态栏 2 由于平面几何的工作界面与初中代数的工作界面相似，这里就不一一详细介绍了。 下面主要说明一下工具栏上快捷按钮的作用： “选取和平移图形”工具，单击鼠标左键选取对象（可选取多个对象） ，可以对主 窗口中的图形（点、线、圆等）进行选取和移动。 （选取某图形时，鼠标必须先点击此按钮 屏幕出现小手，然后通过小手选择图形） “智能画笔”工具，点击此按钮后，鼠标会变成一支画笔，利用这支画笔可以在主 窗口中直接作出点、线、圆等一些简单图形，它是最经常被使用的。 “直尺、量角器”工具，此按钮功能是：创建与已知线段（或以两个选定点作为代 表的缺省线段）构成一定角度的线段以后用“角的边”表示此线段。选取一个点和一条线 段或三个点（后面两个选定点代表以它们为端点的线段）后执行此命令，窗口会出现一个 过给定点（如果是三个点，即第一个点是给定点）且与指定线段成一定角度的红色直尺和 一个绿色的量角器。此时只需点击直尺的任一位置即得角的边。量角器里的蓝色虚线是 180 度角的等分线，缺省值是 12 等分，等分数可以用键盘的光标移动键“（加）和“（减） 动态的调整且在状态栏里显示当前的角度，最多可以 12 等分。 “插入或修改文本”工具，此工具有两个功能： 3 1显示或隐藏对象的标签；如果点击的对象没有标签即显示该对象的标签，否则隐藏 该标签。也可用它点击标签，然后对标签进行修改。 2插入或修改文本：用鼠标在当前的作图窗口中拉出虚线框，里面有一个小光标在闪 动，这时你就可以向里面输入文字了。当点击一个已经存在的文本时，可对该文本进行修 改。文本可被选取并拖动。 “修改颜色”工具，单击此图标下方的三角符号即可选取需要的颜色，如何对图 形添加或修改颜色，下面我们再详细介绍。 “自动推理”工具，推导用户想要证明的某个几何命题（结论） 。 工具栏最下方的是自定义工具栏，你可以根据自己的需要来制作有个人风格的快捷工具 栏。 好了，现在我们开始对平面几何主要功能一一作出介绍。当你了解了这些功能之 后，你将乐意把它当作是电子圆规和直尺，用来画点、线段、园、多边形等等各种丰富多 彩的几何图形；与普通圆规、直尺不同的是你不单可以任意地选择线条的类型（例如实虚 线） 、粗细、颜色，更重要的是能够方便地得到容易控制的动图，在变化的图形中观察其中 某些不变的特征，这在帮助理解与发现图形的性质方面具有特殊的作用。你还将乐意把它 当作电子刻度尺、量角器、以及计算器，在画图的过程中根据需要方便地进行测量与计算， 帮助你进行更精确的观察，支持或验证你的数学猜想。你还乐意在必要的时候可以把它当 成能有一定逻辑推理能力的“机器人” ，帮你理解或构建几何证明思路。一但你掌握了这样 一个能画图、能计算、能证明的工具，你的工作效率将极大提高，同时你必定会不断地萌 生出许多新的教学创意，改变你的工作方式，设计出全新的更能感动学生的教学方法与吸 引他们参与的数学活动。 二、智能作图二、智能作图 下面我们就由智能作图智能作图开始了解平面几何的使用： 1作简单图形 （1）作点、线段和圆 单击“智能作图”图标，如图 1，在 4 主窗口任意位置单击，即可画出一个点 A；在任意位置按住鼠标拖动，即可画出一条线段 BC；在窗口任意位置双击双击鼠标并按住左键拖动，可见到一个红色的虚线圆，松开鼠标左键 即可画出圆 D。 （2）作线上和圆上的点 单击“智能作图”图标，在主窗口中按住鼠标拖动画出线段，然后鼠标指向线段， 当线段变成红色时单击鼠标即可作出线段上的任意一点（图 2-1） ；如果是作线段的中点， 用鼠标指向线段的中点时会出现“中点”两字，此时单击鼠标便作出线段的中点（图 2-2） 。 同样，以鼠标指向圆，当圆周呈现红色时按下左键便得到圆上的点（图 2-3） 。 （3）作射线与直线 作出线段之后，单击左边工具拦的图标，然后用鼠标选择线段，接着选择上面菜单 拦中的“显示”屏幕马上出现下拉菜单，在其中选择直线型中的直线（或射线） ，一松手， 屏幕将出现你需要画的直线（或射线） 。 （图 3） 图 1 作任意点、线段和圆 图 2-1图 2-2图 2-3 5 （图 3） （4）作三角形 6 一种最简单的方法是按上面介绍的方法顺次画出首尾相接的三条线段以构成三角形。 另外一种作法是先作出线段 AB，再单击左边工具拦的图标，然后用鼠标选择线段的两 个端点，接着选择上面菜单拦中的“作图” ，屏幕马上出现下拉菜单，在其中选择“三角形” 这时在这个下拉菜单的右下方又出现一个下拉菜单，其中有包括任意三角形、等边三角形 等八个选项， （图 4） 按你的需要用鼠标选择其中一个然后松手，屏幕将出现你需要画的三角形（图 4） 。 （图中显 示的是等边三角形） 。这样一来，不管是任意三角形，等腰三角形，直角三角形，直角等腰 三角形都可以一步画出来，极大地节省了作图的时间。了解几何画板的老师现在可以 对比两者画图的“智能”性哪个更强一些了！通过下面作三角形的高线与三角形的心，更 能体验这里的平面几何画图的快捷！ （5）作三角形的主要线段和三角形的心 例如画三角形的高线。 画任意三角形 ABC，单击“智能作图”图标，把笔尖对准三角形的一个顶点（这是 该点变红） ，在该点按下鼠标左键不放，按目测把画笔拖动到红色虚线与对边将要垂直交会 处，微调至线段变红且箭头右边出现“垂直”字样时（图 5.1） ，松开左键即可得到这边上 的高线。你看，三角形的高线以及表示垂直的标记一步到位，比“几何画板”快多了！类 似地，可以方便地画三角形的中线，按目测把画笔拖动到红色虚线与对边将相交处，微调 至线段变红且箭头右边出现“中点”字样时松开左键，即可得到这边上的中线。 。 7 注：注：平面几何中直角是自动标注的，这给教学带来极大的方便。对于一般的锐角 或钝角如何标注呢？可按下面的方法操作：当要标注一个角时，选定角的三个点，第二个 点是角的顶点，单击菜单命令“作图|圆弧|角” ，即可完成对角的标注。此角是以第一个选定 点和第二选定点之间所确定的线段为起始边按逆时针方向旋转所得的角，如果标注时选反 了，双击标注的圆弧便可反过来。 至于三角形的“心” 、 “外接圆” 、 “内切圆”等作图同样能享受“智能画图”带来的便 捷。其方法是作出三角形之后，仿照上面的方法选择三个顶点，然后选择上面菜单拦中的 作图，不同的是在下拉菜单中分别选“作点”与“作圆” ，然后在新出现的菜单中选择你需 要的选项。例如图 5.2 显示的是从“垂心、重心、外心、内心、旁心”中选择“外心”得到 的图形。图 5.3 显示的是一步画出的三角形的内切园。 图 5.1 8 图 5.3 （6）作四边形与正多边形 与作三角形类似，画出线段，再单击左边工具拦的图标，然后用鼠标选择线段的两 个端点，接着选择上面菜单拦中的“作图” ，屏幕马上出现下拉菜单，在其中选择“四边形” ,这时在这个下拉菜单的右下方又出现一个下拉菜单，其中有包括“长方形、正方形、平行 四边形、菱形、梯形” （图 6）按你的需要用鼠标选择其中一个然后松手，屏幕将出现你需 要画的四边形。 （图中显示的是我们选择的菱形） 图 5.2 9 图 6 对于正多边形, 智能画图的优越性表现得更加突出。类似于前面的步骤只不过把选择 “四边形”改为选择“正多边形” ，这时屏幕将出现一个对话框，询问你正多边形的边数， 你只需要把正多边形的边数输入后按“确定” ，屏幕便马上出现你要作的正多边形（但要注 意这里最多作到正十边形） 。 （7）作圆的多种方法与作圆的切线 在（1）中已经介绍了作圆的方法，其实可以根据需要用多种方法作圆。例如可以根据 圆心与半径的作圆。方法如下：先取一点与一条线段（图 7.1）, 再单击左边工具拦的图标 ，然后用鼠标选择点与线段，接着选择上面菜单拦中的“作图” ，屏幕马上出现下拉菜 单，在其中选择“作圆”,这时在这个下拉菜单的右下方又出现一个下拉菜单，选择其中的” 已知圆心及半径”,然后松手，屏幕将出现你需要的圆。这样的园在教学时有个好处：当你用 鼠标拖动圆心移动时圆的大小不变，当你通过鼠标改变半径大小时圆的位置不变。 10 图 7.1 下面看圆的切线的作法。单击“智能作图”图标，作圆 A，在圆外作一点 C 不松开 鼠标左键拖动鼠标箭头到红色虚线与圆将近相切和交会处，当圆周呈现红色并且箭头旁出 现“相切”字样时（图 7.2）松开左键即得切线 CD。 11 利用菜单栏里的“作线”也可以两圆的公切线。 （1）按上面介绍的已知圆心和半径作圆的方法作两个圆。 图 7.3 （2）选中两圆，选择“作图|作线|公切线” ，屏幕将出现两圆的公切线（红色虚线） 。用 鼠标选中你要作的公切线，得到图 7.4。 图 7.2 作圆的切线 G A M I L J H 12 图 7.4 以上介绍了“平面几何”的智能画图功能，主要应用了菜单拦中的“作图”按扭。我 们不可能对其所有功能都一一进行介绍，例如如何作角的平分线，线段的中垂线等等。不 过相信你通过上面的介绍，自己通过动手摸索会很快掌握更多的智能作图功能的。 你现在信服这个“电子圆规、直尺”神奇的作图功能了吧！也许你还有疑问：既然利 用这个“平面几何” 的智能画图功能，计算机能帮助我们迅速地画出各种图形，那么我们 的几何还教什么、怎样教？学生离开计算机还会不会作图？这就是我们在教学中需要研究 的问题。什么时候用计算机这个工具以及怎样用这个工具，那是要服从于数学教学目标的。 所以如何把这个先进的智能教育平台应用在教学中，值得我们深入研究，也就是说需要探 讨如何在信息技术支撑的环境中有效地从事数学教学工作。 我们下次将进一步介绍“平面几何”的其它功能。 作为本节课的练习，请大家画出下面七巧板的模板。 （提示：这个练习除用到上面介绍 的作图功能外还用到作图|填充功能。当填充的图形呈现灰色之后，再利用工具拦中的“修 改颜色”工具涂你需要的颜色）