精校word版---高考第三讲 计算机用于函数教学的一些教学样例

高考第三讲 计算机用于函数教学的一些教学样例如何恰当地使用信息技术进行优化教学设计是“课程整合”关注的焦点。所谓“恰当”地使用信息技术需要从学科特点与学科教学改革的需求出发考虑：什么时候使用信息技术、什么时候无需使用以及怎样使用信息技术。这里教学目标必须十分清楚，使用信息技术与否以及怎样使用信息技术必须有助于达到教学目标。现在有些课上下来，不知道这节课上的是数学课还是计算机软件平台的技术培训课，这是一个偏向。无论技术怎样进步，数学课还是要讲数学、还是要组织学生参与丰富多彩的数学活动，信息技术的使用终究是为数学教学服务的。现在有的教育技术专家提出“课程整合”是分层次的，低层次的整合仅仅把信息技术作为演示工具，而高层次则要根本改变学生的学习方式，由“教师讲、学生听”转变为学生借助于计算机和网络自主学习。他们极力倡导的是整合的“高层次”。从作者本人的体会看，这种提法远远脱离数学教学的实际。一个原因是当前绝大多数的数学课还得在教室里而不可能在网络环境下组织，甚至不可能有足够的计算机提供给每个学生动手操作。另外，从国外的情况看也没有达到这种整合“高”层次的典型样例。恰恰相反，有资料表明在英国，教育网络资金的投入并没有换来教育质量的提高（见2003年1月26日参考消息“电脑无助于提高学生成绩”）。目前，美国中小学网络的有效使用率也不高。今年一位美国的教育技术专家在来华访问的一次报告中说，“看来技术不是包治百病的良方”。也就是说，国外的教育家在重新思考如何看待技术的进步对教育的影响，技术是影响教育的重要因素，但不能代替教师，教师的作用是不可低估的。事实上，当前决定数学教学质量的关键是教师，是每天都在进行着的课堂教学活动（这其中绝大多数课都是在教室而不是在网络环境中进行的）。能够在传统的教室里实现计算机大屏幕演示已经是很不错的条件了。对每个教学单元，对每节课都能进行优化设计就能极大提高数学教学质量。优化教学设计首先要分析教材和分析学生，然后考虑教学策略与方法，教育技术手段的优势。这样才能决定何时利用技术以及这样利用技术。能够充分发挥信息技术的演示作用是当前信息技术与数学整合的一个现实问题。从教学实际需求分析看，需要设计恰当的演示内容、恰当的演示时机和恰当的演示方式。让我们分析几个函数教学的例子。 1关于函数的图象x-4-3-2-1012345y-1-1-1-1011111多年来我们教学生画函数图象时都是让学生通过列表求值、描点、连线得到函数的图象。列表时，自变量一般都取0附近的整数接着求相应的函数值。描点一般不超过10个点。然后我们让学生用“光滑”的曲线把这些点连接起来得到函数的图象。这无形中给学生造成了函数图象都是“光滑”的错觉。于是在学生学习函数的图象时出了问题。许多学生在列表描点之后把所得到的点用线逐次连起来得到下面的图象。(如下图)回忆我们在初中函数的图象的讲法，那里函数图象是光滑曲线给学生留下了先入为主的印象。有了计算机同样一个内容就可以有不同的处理。例如，能否在列表时多取一些值从而多得到一些点。能否展现自变量不断变化时函数值随之变化的情况同时呈现图象上动点的运动轨迹。利用“Z+Z”的“初中代数”平台可以这样处理。在“插图”的下拉菜单中选中“函数图象”，在弹出的对话框中选择“公式导入”，接着键入函数的解析式 y=x2，选择自变量变化范围与分点个数。由于分点个数可以随我们的需要键入，可以选择5个点，可以选择10个点，也可以选择51个点、100个点等等。这样通过拉动滚动条，我们可以在屏幕上展现5对、10对或51对乃至100对自变量与对应的函数值。这是用传统的教学手段无论如何也不能实现的。与此同时，可以在屏幕上得到对应于这些点用折线顺序连而得到的图象。以下分别是选择5个分点、10个分点以及51个分点得到的函数图象。 5个分点 10个分点 51个分点 利用“几何画板”可以采取另外一种处理方法。用鼠标选中屏幕上的A点拖动，这时屏幕上将动态地显示该点的横坐标与对应于该横坐标的平方的数值，同时留下动点 P(x,y)的轨迹。这样处理的好处在于能突出自变量与对应的函数值的变化，同时弥补在黑板上列表只能选择很少的几个点的坐标值。由此可见，这里的计算机演示确实能满足可以看出数学教学凸现图象形成过程的需求。“整合”的切入点是分析传统教学内容呈现方式的不足。当然，在教学过程中不是不要列表描点而一下子有计算机绘制图象，那样一来可能淹没了知识的形成过程。一切都让计算机做了，学生也没有思考的空间了。因此何时用黑板粉笔，何时用计算机演示需要教师进行设计。如果学校的计算机设备能够让每个学生动手操作，我们还可以给学生提出一系列任务和问题让他们更主动地获得新知识。2关于函数的定义域和值域函数概念的三要素是定义域、值域和对应法则，但许多学生对函数的认识停留在函数的解析式，认为函数的定义域无关紧要。怎样让学生深刻地感受到函数的定义域在确定函数中的作用呢？让我们看下面一个例子。已知函数f(x) = x2-6x+8 ，1, a，求函数的最小值以及函数的值域。这个函数的定义域随a的变化而变化，因此这个函数的最小值及其值域也有所不同，可见仅由给出对应法则的解析式还不能确定一个函数。但怎么使学生能比较容易地理解这一点呢？我们考虑到利用计算机的动态演示。下面两幅图反映的是用鼠标拖动显示a变化的动点之后呈现的函数图象的不同情况。 当a > 5时，值域为 -1，f(a),最小值为-1 当 3< a< 5时，值域为 -1，3 ，最小值为-1 当 1< a< 3时，值域为 f(a)，3 ，最小值为f(a)这个在计算机屏幕呈现的动态演示效果比单纯依靠粉笔黑板讲解要好得多，不仅生动直观，而且非常节省时间。当然在演示前和演示的过程中应该设计让学生思考的问题，给学生留有思考的时间，让学生边思考边观察演示，而不是一下子把结果演示出来。演示的节奏需要教师根据当堂学生的反馈信息加以控制。3关于反函数反函数是教学的难点。什么是反函数？如果仅仅从逆映射的角度讲解反函数的概念，学生会觉得这个概念太抽象，难于理解。所以在引出反函数概念时应交代概念产生的实际背景，那就是寻求一个问题的反问题的解答。例如可以从公民的纳税问题谈起。大家知道：对于每个公民每月确定的收入所得都对应唯一的应交税款，税款是收入所得的函数。这个问题的反问题是：如果知道某人交纳的税款，能否确定这个人的月收入？这个反问题是否有唯一解显然与原来的问题有关。就收入在800元以上的情况，如果知道了交纳税款的数目，是应该能确定某人收入的。但是就一般情况，问题复杂了。因为对于按规定不交纳税款的人，你不能确定他的准确收入，而只知道他的月收入在800元以下。因此，这个反问题是否有唯一解与给出原来函数的对应法则有关，如果这个对应法则是11对应的，那么这个解答就是确定的，否则就不确定。对于前者，收入与交纳税款的对应关系存在11对应的关系，于是定义了一个新的函数。这个函数就是原来函数的反函数。函数概念的三要素是：定义域、值域和对应法则。那么一个函数如果有反函数，这两个函数的定义域、值域和对应法则之间存在怎样的关系呢？用数学的语言讲：如果已知函数，而且确定此函数的映射f：MN是11映射，那么这个映射存在逆映射f -1：NM 。由这个逆映射给出的函数就是已知函数的反函数。已知函数的定义域是其反函数的值域，已知函数的值域是反函数的定义域。为使学生深刻地理解上面的讲解，看一个简单的例子：已知函数，。这个函数是否存在反函数？如果存在，指出它的定义域、值域与对应法则。 我们借助于计算机演示帮助学生理解。 在图中用鼠标选中x轴上的小红点拖动，屏幕上该点对应的横坐标x以及横坐标x的平方的数值也随之不断变化，第二个箭头指向了y轴纵坐标为的点。当小红点从-3运动到-1，第二个箭头指向的y轴上的小蓝点则从y轴上的9运动到1。这个动画效果配合教师的讲解生动地表明了已知函数的对应法则f是：“平方”，f把-3，-1映到集合1，9（如图）。 再用鼠标选中y轴上的小蓝点拖动，屏幕上该点对应的纵坐标以及纵坐标的平方根的相反数的数值也随之不断变化，第二个箭头指向了x轴横坐标为的点。当小蓝点从1运动到9，第二个箭头指向的x 轴上的小红点则从x 轴上的-1运动到-3。这个动画效果配合教师的讲解生动地表明了已知函数的反函数对应法则是：“开方后取相反数”， 把1，9映到集合-3，-1。这个演示直观地说明了已知函数与其反函数之间的关系：其映射互为逆映射，其中一个函数的定义域为其反函数的值域，而其值域为其反函数的定义域。习惯上，我们总是把自变量记为x，对应的函数值记为y，所以把的反函数记为。由于这时把钟表轴对调了一下，因此的图象与的图象关于直线y = x 对称。要得到反函数的图象可现场操作，或利用“对称”变换的功能现场作图，或利用屏幕上已有的数值（）确定一点，然后得到的图象。还可做出第一、三象限的角平分线，通过拖动x轴上的小红点展现的图象与的图象关于直线y = x 的对称点运动的状况。4函数的单调性在考虑把计算机引入这段教学时，我们关注的是怎样凸现函数单调性概念的形成过程。现行教材是在研究了幂函数在>0与<0的不同情况后结合函数图象给出函数单调性的定义的。对于函数的单调性，课本上是这样叙述的：“一般地说，如果对于函数f（x）在定义域A的某个区间的任意两个值x1 、x2，当x1 > x2时，都有f (x1)> f (x 2)（或f (x1)<f (x 2)）成立，那么函数f（x）在此区间上是增函数(或是减函数)。如果函数f (x)在某一区间是增函数或减函数，则称函数f (x)在此区间具有单调性，而此区间称为函数f (x)的单调区间。”实践表明，从观察几个具体的幂函数的图象得到关于幂函数单调性的初步认识到获得上面一般函数单调性的定义之间还有一段不小的距离，如果不体会函数单调性概念的抽象过程，学生很难理解上面这段话所表达的真实含义。因为这段严谨的形式化的数学语言包含了学生不习惯的数学符号与术语，他们不理解为什么要说“对定义域A的某个区间的任意两个值x1 、x2”、而“当x1 > x2时，都有f (x1)> f (x 2)”要表达的到底是什么意思？所以当数学概念追求严谨表述的努力一旦脱离学生的认知水平就变成“空洞”的数学符号、文字与术语的组合了。看来要在“一般地说”上作点文章，在给出函数单调性的严格定义以前要让学生体会到函数的这个性质是密切地依赖于函数的某一区间的，这个性质反映了函数在这一区间的增减性质。其实学生对于正比例函数和反比例函数的增减性是清楚的。他们在初中已经熟悉当k>0时，y = kx是增函数，k<0时，是减函数，只不过对于反比例函数他们不清楚应该分开说在区间（0，）和区间（，0）上是减函数，而是说当x0时函数y的值随自变量x的增加而减小。在“几何画板”的支持下，可以从学生熟悉的函数y = x与函数出发构造出新的函数，通过研究这个函数的图象逐步得出函数单调性的一般概念，这时就突出了函数单调性是与某一区间密切联系的。以下是关于这一内容的教学设计片段问题：“我们已经学过函数y = x与