2018年高考数学（文）二轮复习习题：第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训9

专题限时集训(九)空间几何体表面积或体积的求解建议A、B组各用时：45分钟A组高考达标一、选择题1(2017·唐山一模)一个几何体的三视图如图9­13所示，则其体积为()图9­13A2B24C4 D22A该几何体为组合体，左边为直三棱柱，右边为半圆柱，其体积V×2×1×2×12×22.故选A.2已知三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的体积之比为()A1 B123C123 D1827C设正方体的棱长为a，则其内切球半径R1；棱切球直径为正方体各面上的对角线长，则半径R2a；外接球直径为正方体的体对角线长，所以半径R3a，所以这三个球的体积之比为13()3()3123.故选C.3(2016·郑州一模)一个几何体的三视图如图9­14所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为() 【导学号：04024089】图9­14A.BC2DB由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥P­ABCDE，体积V××，故选B.4(2017·郑州二模)刘徽的九章算术注中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为21，这个比率是不变的如图9­15是一个阳马的三视图，则其表面积为()图9­15A2 B2C3 D3B由三视图可得该四棱锥的底面是边长为1的正方形，有一条长度为1的侧棱垂直于底面，四个侧面三角形都是直角三角形，侧面积为2××1×12×××11，底面积是1，所以其表面积为2，故选B.5(2016·湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图9­16所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为()图9­16A. B2 C.3 D4B分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1截去四棱锥A­BEDC得到的，故其体积V×22×3××2×2，故选B.二、填空题6(2017·济南一模)已知某几何体的三视图及相关数据如图9­17所示，则该几何体的体积为_图9­17由三视图得该几何体是底面半径为1，高为2的圆锥体的一半和一个底面半径为1，高为2的圆柱体的一半的组合体，所以其体积为×××12×2××12×2.7(2017·呼和浩特一模)已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，ASAB1，BC，则球O的表面积为_. 【导学号：04024090】5因为SA平面ABC，ABBC，所以四面体S­ABC的外接球半径等于以长、宽、高分别为SA，AB，BC三边长的长方体的外接球半径，因为SAAB1，BC，所以2R，则R，故球O的表面积为S4R25.8已知三棱锥P­ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36，那么P到平面ABC距离的最大值为_32依题意，边长是的等边ABC的外接圆半径r·1.球O的表面积为364R2，球O的半径R3，球心O到平面ABC的距离d2，球面上的点P到平面ABC距离的最大值为Rd32.三、解答题9(2016·合肥二模)如图9­18，P为正方形ABCD外一点，PB平面ABCD，PBAB2，E为PD的中点图9­18(1)求证：PACE；(2)求四棱锥P­ABCD的表面积解 (1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，则EFADBC，即EF，BC共面PB平面ABCD，PBBC，又BCAB且PBABB，BC平面PAB，BCPA.3分PBAB，BFPA，又BCBFB，PA平面EFBC，PACE6分(2)设四棱锥P­ABCD的表面积为S，PB平面ABCD，PBCD，又CDBC，PBBCB，CD平面PBC，CDPC，即PCD为直角三角形，8分由(1)知BC平面PAB，而ADBC，AD平面PAB，故ADPA，即PAD也为直角三角形SABCD2×24，SPBCSPAB×2×22，SPCDSPDA×2×2，10分S表SABCDSPBCSPDASPABSPCD8412分10如图9­19，一个侧棱长为l的直三棱柱ABC­A1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.图9­19(1)求证：平面DEFG平面ABB1A1；(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高【导学号：04024091】解 (1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是ABC的中位线，所以DEAB.又DE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1，又DEDGD，所以平面DEFG平面ABB1A16分(2)当直三棱柱ABC­A1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABC­A1B1C1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，ABC的面积为S，则由已知条件可知，CDEABC，且SCDES，所以S四边形ABEDS.9分由于两种状态下液体体积相等，所以V液体ShS四边形ABEDlSl，即hl.因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为l12分B组名校冲刺一、选择题1(2017·重庆二模)某几何体的三视图如图9­20所示，则该几何体的体积为()图9­20A.BC. D.B根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2，高为1)；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2，高为1)，因此该几何体的体积为×2×1×1××2×1×1，选B.2(2016·唐山二模)某几何体的三视图如图9­21所示，则该几何体的体积为()图9­21A64 B4C. D2D由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为2的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为×12×1×12×22，故选D.3(2017·深圳二模)一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图9­22所示，则该几何体的体积为() 【导学号：04024092】图9­22A24 B48C72 D96B由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为6,4,4的长方体被一个平面截去所剩下的部分，如图所示，其中C，G均为长方体对应边的中点，该平面恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为V×6×4×448，故选B.4(2017·银川二模)点A，B，C，D在同一个球的球面上，ABBC，ABC90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为()A2 B4C8 D16D因为SABC×()23为定值，要使四面体ABCD的体积最大，只需点D到平面ABC的距离h最大由题意得SABCh3，解得h3，所以h的最大值为3.当h最大时，设AC的中点为E，因为ABBC，ABBC，所以AC2，DE平面ABC，且球心在DE上设球的半径为r，则r2(3r)2()2，解得r2，所以这个球的表面积为4r24×2216，故选D.二、填空题5(2016·广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为_. 【导学号：04024093】由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r1, 其高h1，球半径为R，该球的体积VR3×3.6如图9­23，在三棱锥A­BCD中，ACD与BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为_图9­23取AB，CD的中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AFBF，AFBF2，EF，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，所以OEOF.设外接球的半径为R，连接OA，OC，则有R2AE2OE2，R2CF2OF2，所以AE2OE2CF2OF2，()2OE222OF2，所以OF2OE22，又OEOF，则OF2，R2，所以该三棱锥外接球的表面积为4R2.三、解答题7如图9­24，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，BADADC90°，ABADCD，BEDF.图9­24(1)若M为EA中点，求证：AC平面MDF；(2)若AB2，求四棱锥E­ABCD的体积解 (1)证明：设EC与DF交于点N，连接MN，在矩形CDEF中，点N为EC中点，因为M为EA中点，所以MNAC2分又因为AC平面MDF，MN平面MDF，所以AC平面MDF6分(2)取CD中点为G，连接BG，EG，平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，AD平面ABCD，ADCD，所以AD平面CDEF，同理ED平面ABCD，7分所以ED的长即为四棱锥E­ABCD的高8分在梯形ABCD中，ABCDDG，ABDG，所以四边形ABGD是平行四边形，BGAD，所以BG平面CDEF.又DF平面CDEF，所以BGDF，又BEDF，BEBGB，所以DF平面BEG，DFEG10分注意到RtDEGRtEFD，所以DE2DG·EF8，DE2，所以VE­ABCDS梯形ABCD·ED412分8如图9­25，在多面体ABCDM中，BCD是等边三角形，CMD是等腰直角三角形，CMD90°，平面CMD平面BCD，AB平面BCD，点O为CD的中点，连接OM.图9­25(1)求证：OM平面ABD；(2)若ABBC2，求三棱锥A­BDM的体积解 (1)证明：CMD是等腰直角三角形，CMD90°，点O为CD的中点，OMCD1分平面CMD平面BCD，平面CMD平面BCDCD，OM平面CMD，OM平面BCD2分AB平面BCD，OMAB.3分AB平面ABD，OM平面ABD，OM平面ABD4分(2)法一：由(1)知OM平面ABD，点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分过点O作OHBD，垂足为点H.AB平面BCD，OH平面BCD，OHAB