2018年江苏高考数学二轮复习练习：专项限时集训4　解析几何中的范围、定值和探索性问题

专项限时集训专项限时集训( (四四) ) 解析几何中的范围、定值和探索性问题解析几何中的范围、定值和探索性问题 (对应学生用书第 119 页) (限时：60 分钟) 1(本小题满分 14 分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图 4，点A(1，)为椭圆 3 1 上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点 x2 2 y2 n 图 4 (1)求椭圆方程； (2)若直线AB，AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求ABC面积的最大值，并求 出此时直线BC的方程 解 (1)把点A(1，)代入1 得n6， 3 x2 2 y2 n 故椭圆方程为1.4 分 y2 6 x2 2 (2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直， 因此其斜率必存在，设AB，AC的斜率分别为k1、k2， 由Error!得点B的横坐标为x1， 62 3k1 k2 13 点B的纵坐标为y， 3 2 3k2 16k1 k2 13 即B. (1 62 3k1 k2 13 ， 32 3k2 16k1 k2 13 ) 同理可得点C的坐标为C， (1 62 3k2 k2 23 ， 32 3k2 26k2 k2 23 ) k1k20，直线BC的斜率为kBC. 3 设直线BC的方程为yxm，代入方程1 得 6x22mxm260， 3 x2 2 y2 63 xBxCm，xBxC，|BC|xBxC|2， 3 3 m26 613 1 3m2 2m26 3 10 分 |BC|， 2 3 312m2 又点A到直线BC的距离为d， |m| 2 S |BC|·d， 1 2 3 6m212m2 3 6 m26236 当m26，即m±时，ABC面积取得最大值为. 63 此时，直线BC的方程为yx±.14 分 36 2(本小题满分 14 分)(2017·江苏省宿迁市三模)如图 5，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 C：1 的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P x2 4 y2 3 在x轴上方) 图 5 (1)若QF2FP，求直线l的方程； (2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数，使得k1k2？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：56394100】 解 (1)因为a24，b23，所以c1， a2b2 所以F的坐标为(1,0)， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为xmy1， 代入椭圆方程1，得(43m2)y26my90， x2 4 y2 3 则y1，y2. 3m6 1m2 43m2 3m6 1m2 43m2 若QF2FP，即2， QF FP 则2·0， 3m6 1m2 43m2 3m6 1m2 43m2 解得m， 2 5 5 故直线l的方程为x2y0.6 分 55 (2)由(1)知，y1y2，y1y2， 6m 43m2 9 43m2 所以my1y2 (y1y2)， 9m 43m2 3 2 由A(2,0)，B(2,0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1my11，x2my21， 所以· ， k1 k2 y1 2x1 x22 y2 y1my21 y2my13 3 2y1y2y1 3 2y1y23y2 1 3 故存在常数 ，使得k1k2.14 分 1 3 1 3 3(本小题满分 16 分)如图 6，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0，y0)是椭圆C：1 x2 24 y2 12 上的一点，从原点O向圆R：(xx0)2(yy0)28 作两条切线，分别交椭圆于点P，Q. 图 6 (1)若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程； (2)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1k2的值. 【导学号：56394101】 解 (1)连接OR(图略)设圆R的半径为r，由圆R的方程知r2，因为直线OP，OQ 2 互相垂直，且和圆R相切，所以|OR|r4，即xy16. 22 02 0 又点R在椭圆C上，所以1， x2 0 24 y2 0 12 联立，解得Error! 所以圆R的方程为(x2)2(y2)28.6 分 22 (2)因为直线OP：yk1x和OQ：yk2x都与圆R相切，所以2， |k1x0y0| 1k2 12 2， |k2x0y0| 1k2 22 化简得(x8)k2x0y0k1y80，(x8)k2x0y0k2y80. 2 02 12 02 02 22 0 所以k1，k2是方程(x8)k22x0y0ky80 的两个不相等的实数根，由根与系数的关 2 02 0 系，得k1k2， y2 08 x2 08 因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以1，即y12x，所以k1k2 . x2 0 24 y2 0 122 0 1 2 2 0 41 2x2 0 x2 08 1 2 16 分 4(本小题满分 16 分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)， x2 a2 y2 b2 3 2 O(0,0)，OAB的面积为 1. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证： |AN|·|BM|为定值 【解】 (1)由题意得Error!解得Error! 所以椭圆C的方程为y21.4 分 x2 4 (2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1) 设P(x0，y0)，则x4y4. 2 02 0 当x00 时， 直线PA的方程为y(x2) y0 x02 令x0，得yM， 2y0 x02 从而|BM|1yM|. |1 2y0 x02| 直线PB的方程为yx1. y01 x0 令y0，得xN， x0 y01 从而|AN|2xN|.10 分 |2 x0 y01| 所以|AN|·|BM|· |2 x0 y01| |1 2y0 x02| | x2 04y2 04x0y04x08y04 x0y0x02y02 | | 4x0y04x08y08 x0y0x02y02 | 4. 当x00 时，y01，|BM|2，|AN|2， 所以|AN|·|BM|4. 综上，|AN|·|BM|为定值.16 分