2018年江苏高考数学二轮复习教师用书：第1部分 知识专题突破 专题4　平面向量

专题四平面向量命题观察·高考定位(对应学生用书第12页)1(2017·江苏高考)如图41，在同一个平面内，向量，的模分别为1,1，与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45°.若mn(m，nR)，则mn_.图413法一因为tan 7，所以cos ，sin .过点C作CDOB交OA的延长线于点D，则，OCD45°.又因为mn，所以m，n，所以|m，|n.在COD中，由正弦定理得，因为sin ODCsin (180°OCD)sin (OCD)，即，所以n，m，所以mn3.法二由tan 7可得cos ，sin ，则，由cosBOC可得，cos AOBcos (45°)cos cos 45°sin sin 45°××，则·，则mn，mn1，则mn，则mn3.2(2016·江苏高考)如图42，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·4，·1，则·的值是_图42由题意，得·()·()()·()22|2|21，·()·()(3)·(3)9229|2|24.由得|2，|2.·()·()(2)·(2)4224|2|24×.3(2015·江苏高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_3manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.4(2013·江苏高考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_由题意()，于是1，2，故12.5(2014·江苏高考) 如图43，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，则·的值是_. 【导学号：56394021】图4322由3，得，.因为·2，所以·2，即2·22.又因为25，64，所以·22.命题规律平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中主干整合·归纳拓展(对应学生用书第12页)第1步 核心知识再整合1平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底2平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)aba·b0x1x2y1y20.3平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .第2步 高频考点细突破平面向量的线性运算【例1】(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60°，E为CD的中点若·，则AB的长为_解析根据条件：·()·()()·2·2|2|1.16|28|10，解得|.故答案为.答案规律方法向量加法：“尾首相接，首尾相连”，向量减法：“共起点，连终点，指向被减向量”举一反三 (江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)如图44，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么_.(用和表示)图44.向量共线的充要条件【例2】(南京市2017届高三年级学情调研)设向量a(1，4)，b(1，x)，ca3b，若ac，则实数x的值是_. 【导学号：56394022】解析由题意得(1，4)(2，43x)843xx4.答案4规律方法向量a，b(a0)共线的充要条件是ba，R，用坐标表示就是a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件是x1y2x2y10.举一反三 (2017届高三七校联考期中考试)如图45，梯形ABCD中，ABCD，AB6，ADDC2，若·14，则·_.图452·()·()·()··()···，·6×214·2.平面向量的数量积【例3】(南京市2017届高三年级学情调研)在ABC中，已知AB3，BC2，D在AB上，若·3，则AC的长是_解析|1，|2；·3cos ，所以22222|.答案规律方法向量a·b|a|b|cosa，b，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·bx1x2y1y2.举一反三(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设平面向量a(x,4)，b(y，2)，c(2,1)(其中x0，y0)，若(ac)(bc)，则|ab|的最小值为_2a(x,4)，b(y，2)，c(2,1)，ac(x2,3)，bc(y2，3)，由(ac)(bc)，得(x2)(y2)90，即xy2(xy)50.又x0，y0，2(xy)5xy，解得xy2(舍)，或xy10.|ab|2.求两向量的夹角【例4】(2017届高三七校联考期中考试)如图46，在2×4的方格纸中，若a和b是起点和终点均在格点的向量，则向量2ab与ab的夹角余弦值是_图46解析a(2，1)，b(3,2)，所以2ab(7,0)，ab(1，3)，因此向量2ab与ab的夹角余弦值是.答案规律方法cosa，b，a2|a|2.举一反三(泰州中学2017届高三上学期期中考试)在ABC中，(3)·0，则角A的最大值为_由题设可得accos B3abcos C0，即ccos B3bcos C，也即sin Ccos B3sin Bcos C，故tan C3tan B，由于tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，因此3tan Atan2B2tan Btan A0，故412tan2A0，所以tan A，所以Amax.平面向量和平面几何的综合问题【例5】(江苏省镇江市丹阳高中2017届高三下学期期中)已知点A(2,3)，点B(6，3)，点P在直线3x4y30上，若满足等式·20的点P有两个，则实数的取值范围是_. 【导学号：56394023】解析由点P在直线3x4y30上，设P，则，·(x2)(x6)29(25x2110x57)，又·20，(25x2110x57)20，化简得25x2110x57320，根据题意(110)24×25×(5732)0，解得2，实数的取值范围是(，2)答案 (，2)规律方法平面向量本身就具有代数和几何的双重特征，与平面几何的综合问题是最自然最常见的问题，在解题过程中要抓住图形的几何特征，充分利用几何元素的几何性质解决问题举一反三(泰州中学20162017年度第一学期第一 次质量检测文科)已知点O为ABC内一点，且230，则AOB，AOC，BOC的面积之比等于_321230，所以C为AB三等分点(靠近B)，如图，所以SAOCSAOC；SBOCSBOC；SAOC2SBOC；SAOBSAOCSBOC，即AOB，AOC，BOC的面积之比等于3SBOC2SBOCSBOC321.第3步 高考易错明辨析1误把两向量数量积大于(小于)0当作两向量夹角为锐角(钝角)的充要条件已知|a|，|b|3，a，b的夹角为45°，当向量ab与ab的夹角为锐角时，求实数的取值范围错解a·b|a|b|cos 45°3，因为向量ab与ab的夹角为锐角，所以(ab)·(ab)0，由(ab)·(ab)a2(1)a·bb21250，得，所以的取值范围是.正解a·b|a|b|cos 45°3，因为向量ab与ab的夹角为锐角，所以(ab)·(ab)0，由(ab)·(ab)a2(1)a·bb21250，得，当向量ab与ab方向相同时，1，即当1时，虽然(ab)·(ab)0，但向量ab与ab夹角为0°，所以的取值范围是(1，)2忽视两向量夹角的概念导致错误在ABC中，(1，)，(3,0)，则角B的大小为_错解因为cos B，且B(0，)，所以B.正解根据向量的夹角的定义，向量与的夹角应是角B补角，所以cos(B)，又B(0，)，所以B，从而B.3忽视变量取值范围导致错误如图47，在ABC中，BAC120°，AB1，AC2，D为BC边上一点，则·的取值范围为_图47错解·|cosBAC1，·22·2，因为，所以0,1，当0时，2取最大值5，当1时，2，所以·的取值范围为.正解·|cosBAC1，·22·2，因为，所以0，)，当0时，2取最大值5，当时，22取最小值，所以·的取值范围为(2,5专家预测·巩固提升(对应学生用书第14页)1(改编题)已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_90°由()，故O，A，C三点共线，