2018年浙江高考数学二轮复习教师用书：第1部分 重点强化专题 专题4 突破点8 空间几何体表面积或体积的求解

专题四专题四 立体几何立体几何 建知识网络 明内在联系 高考点拨 立体几何专题是浙江新高考中当仁不让的热点之一，常以“两小一大”呈现，小 题主要考查三视图与空间几何体的体积(特别是与球有关的体积)和空间位置关系及空间角，一 大题常考空间位置关系的证明与空间角、距离的探求本专题主要从“空间几何体表面积或体 积的求解” “空间中的平行与垂直关系” “立体几何中的向量方法”三大角度进行典例剖析，引 领考生明确考情并提升解题技能 突破点突破点 8 8 空间几何体表面积或体积的求解空间几何体表面积或体积的求解 (对应学生用书第 29 页) 核心知识提炼 提炼 1 求解几何体的表面积或体积 (1)对于规则几何体，可直接利用公式计算 (2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求 解 (3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形， 圆台的轴截面是等腰梯形的应用. 提炼 2 球与几何体的外接与内切 (1)正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外 接球的球心相同，则内切球的半径ra，外接球的半径Ra. 6 12 6 4 (2)正方体与球：设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，O为其对称中心，E，F，H，G分别为 AD，BC，B1C1，A1D1的中点，J为HF的中点，如图 8­1 所示 图 8­1 正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，故其内切球的半径为OJ ； a 2 正方体的棱切球：截面图为正方形EFHG的外接圆，故其棱切球的半径为OG； 2a 2 正方体的外接球：截面图为矩形ACC1A1的外接圆，故其外接球的半径为OA1. 3a 2 高考真题回访 回访 1 空间几何体的结构及三视图 1(2015·浙江高考)如图 8­2，斜线段AB与平面所成的角为 60°，B为斜足，平面上的 动点P满足PAB30°，则点P的轨迹是( ) 图 8­2 A直线 B抛物线 C椭圆 D双曲线的一支 C C 因为PAB30°，所以点P的轨迹为以AB为轴线，PA为母线的圆锥面与平面的交 线，且平面与圆锥的轴线斜交，故点P的轨迹为椭圆 2(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图 8­3 所示，则该几何体的体积是( ) 图 8­3 A72 cm3 B90 cm3 C108 cm3D138 cm3 B B 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示VV三棱柱V长方体 ×4×3×34×3×6187290(cm3) 1 2 3(2013·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图 8­4 所示，则该几何体的体积是( ) 图 8­4 A108 cm3B100 cm3 C92 cm3D84 cm3 B B 此几何体为一个长方体ABCD­A1B1C1D1被截去了一个三棱锥A­DEF，如图所示，其中这个 长方体的长、宽、高分别为 6、3、6，故其体积为 6×3×6108(cm3)三棱锥的三条棱 AE、AF、AD的长分别为 4、4、3，故其体积为 ××48(cm3)，所以所求几何 1 3 ( 1 2 × 4 × 3) 体的体积为 1088100(cm3) 回访 2 几何体的表面积或体积 4(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图 8­5 所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位： cm3)是( ) 图 8­5 A.1 B.3 2 2 C.1 D.3 3 2 3 2 A A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底 面为直角边长是的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体， 2 该几何体的体积 V × ×12×3 × ×××31.故选 A. 1 3 1 2 1 3 1 222 2 5(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图 8­6 所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( ) 图 8­6 A8 cm3B12 cm3 C. cm3D. cm3 32 3 40 3 C C 由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体下面是棱长为 2 cm 的正方体，体积V12×2×28(cm3)；上面是底面边长为 2 cm，高为 2 cm 的正四棱 锥，体积V2 ×2×2×2 (cm3)，所以该几何体的体积VV1V2(cm3) 1 3 8 3 32 3 6(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图 8­7 所示，则此几何体的表面积是( ) 图 8­7 A90 cm2B129 cm2 C132 cm2D138 cm2 D D 该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为 6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是 直角三角形，边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm，所以表面积S2×(4×64×3)3×63×3 9939138(cm2) (5 × 34 × 32 × 1 2 × 4 × 3) 7(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图 8­8 所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是 _cm2，体积是_cm3. 图 8­8 8080 4040 由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是 4，高为 2；上面正方体 的棱长为 2.所以该几何体的表面积为(4×42×42×4)×22×2×480(cm2)；体积为 4×4×22340(cm3) 8(2013·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图 8­9 所示，则此几何体的体积等于 _cm3. 图 8­9 2424 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所 示三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为 3 和 4，三棱柱的高为 5， 故其体积V1 ×3×4×530(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面 1 2 相同， 高为 3，故其体积V2 × ×3×4×36(cm3)，所以所求几何体的体积 1 3 1 2 为 30624(cm3) (对应学生用书第 31 页) 热点题型 1 几何体的表面积或体积 题型分析：解决此类题目，准确转化是前提，套用公式是关键，求解时先根据条件确定几何体 的形状，再套用公式求解. 【例 1】 (1)如图 8­10，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是( ) 28 3 图 8­10 A17 B18 C20D28 (2)如图 8­11，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多 面体的表面积为( ) 【导学号：68334098】 图 8­11 A1836 B5418 55 C90D81 (1 1)A A (2 2)B B (1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球 的 ，得到的几何体如图设球的半径为R，则 1 4 R3 × R3，解得R2.因此它的表面积为 ×4R2 R217.故选 A. 4 3 1 8 4 3 28 3 7 8 3 4 (2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧 面为平行四边形，则表面积为(3×33×63×3)×25418.故选 B. 55 方法指津 1求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求 三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某 一面上 (2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以 易于求解 2根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 (1)根据给出的三视图判断该几何体的形状 (2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量 (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解 变式训练 1 (1)某几何体的三视图如图 8­12 所示，则该几何体的体积为( ) 图 8­12 A.B5 13 3 3 2 C5D. 3 13 3 2 (2)(2017·温州市普通高中 4 月高考模拟考试 12)某几何体的三视图如图 8­13 所示，则此几 何体的体积是_，表面积是_. 【导学号：68334099】 图 8­13 (1 1)D D (2 2) 6 62 22 2 (1)由三视图知该几何体是由一个长方体，一个三棱锥和一个 8 8 3 32 25 5 圆柱组成，故该几何体的体积为V2×1×2 × ×1×1×2 ××12×2. 1 4 1 3 1 2 1 4 13 3 2 (2)由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面是边长为 2 的正方形，高为 2，所以该几何体的 体积V ×22×2 ，表面积S2×2 ×2×2 ×2×22× ×2×622. 1 3 8 3 1 2 1 22 1 2525 热点题型 2 球与几何体的切、接问题 题型分析：与球有关的表面积或体积求解，其核心本质是半径的求解，这也是此类问题求解的 主线，考生要时刻谨记.先根据几何体的三视图确定其结构特征与数量特征，然后确定其外接球 的球心，进而确定球的半径，最后代入公式求值即可；也可利用球的性质球面上任意一点 对直径所张的角为直角，然后根据几何体的结构特征构造射影定理求解. 【例 2】 (1)一个几何体的三视图如图 8­14 所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接 球的表面积为( ) 图 8­14 A. 8 3 B. 16 3 C. 48 3 D. 64 3 (2)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是( ) 【导学号：68334100】 A4B. 9 2 C6D. 32 3 (1 1)D D (2 2)B B (1)法一 由三视图可知，该几何体是如图所示的三 棱锥S ­ ABC，其中HS是三棱锥的高，由三视图可知 HS2，HAHBHC2，故H为ABC外接圆的圆心，该圆的 3 半 径为 2. 由几何体的对称性可知三棱锥S­ABC外接球的球心O在直线HS上，连接OB. 设球的半径为R，则球心O到ABC外接圆的距离为OH|SHOS|2R|， 3 由球的截面性质可得ROB，解得R，所以所求外接球 OH2HB2|2 3R|222 4 3 3 的表面积为 4R24×.故选 D. 16 3 64 3 法二 由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ­ABC，其中 HS是三棱锥的高，由侧视图可知HS2，由正视图和侧视图 3 可得 HAHBHC2. 由几何体的对称性可知三棱锥外接球的球心O在HS上，延长SH交球面于点P，则SP就是球 的直径， 由点A在球面上可得SAAP. 又SH平面ABC，所以SHAH. 在 RtASH中，SA4. SH2AH22 3222 设球的半径为R，则SP2R， 在 RtSPA中，由射影定理可得SA2SH×SP，即 422×2R，解得R， 3 4 3 3 所以所求外接球的表面积为 4R24×.故选 D. 16 3 64 3 (2)由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切设球的半径为R.因为ABC 的内切圆半径为2，所以R2.又 2R3，所以R ，所以Vmax 3 .故 6810 2 3 2 4 3 ( 3 2) 9