2018年高考数学（文）二轮复习习题：第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训10

专题限时集训专题限时集训(十十) 空间中的平行与垂直关系空间中的平行与垂直关系 建议 A、B 组各用时：45 分钟 A 组组 高考达标高考达标 一、选择题 1设 为平面，a，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A若 a，b，则 ab B若 a，ab，则 b C若 a，ab，则 b D若 a，ab，则 b B A 中，两直线可能平行、相交或异面，故 A 错；B 中，由直线与平面垂直 的判定定理可知 B 正确；C 中，b 可能平行 ，也可能在 内，故 C 错；D 中， b 可能平行 ，也可能在 内，还可能与 相交，故 D 错综上所述，故选 B. 2(2017·南昌模拟)如图 10­5，在四面体 ABCD 中，已知 ABAC，BDAC，那么 点 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在( ) 【导学号：04024096】 图 10­5 A直线 AB 上 B直线 BC 上 C直线 AC 上 DABC 内部 A 因为 ABAC，BDAC，ABBDB，所以 AC平面 ABD，又 AC平 面 ABC，所以平面 ABC平面 ABD，所以点 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在直 线 AB 上 3已知 ， 是两个不同的平面，有下列三个条件： 存在一个平面 ，； 存在一条直线 a，a，a； 存在两条垂直的直线 a，b，a，b. 其中，所有能成为“”的充要条件的序号是( ) A B C D D 对于，存在一个平面 ，则 ，反之也成立，即“存在 一个平面 ，”是“”的充要条件，所以对，可排除 B，C. 对于，存在两条垂直的直线 a，b，则直线 a，b 所成的角为 90°， 因为 a，b，所以 ， 所成的角为 90°， 即 ，反之也成立，即“存 在两条垂直的直线 a，b，a，b”是“”的充要条件，所以对，可 排除 A，选 D. 4(2017·莆田模拟)已知正方体 ABCD­A1B1C1D1，平面 过直线 BD，平面 AB1C，平面 AB1Cm，平面 过直线 A1C1，平面 AB1C，平面 ADD1A1n，则 m，n 所成的角的余弦值为( ) A. B. 1 2 1 3 C. D. 2 2 3 2 D 如图，由题中条件知，直线 m 为 B1O，直线 n 为 A1D，B1CA1D，B1O 与 A1D 所成的角为CB1O(或其补角)，设正方体的 棱长为 a，在CB1O 中，B1Ca，COa，B1Oa， 2 2 2 6 2 cosCB1O.故选 D. ( 6 2 a)2 2a2( 2 2 a)2 2 × 6 2 a ×2a 3 2 5(2017·武汉模拟)如图 10­6，在矩形 ABCD 中，AB，BC1，将ACD 沿 AC 3 折起，使得 D 折起后的位置为 D1，且 D1在平面 ABC 上的射影恰好落在 AB 上， 在四面体 D1ABC 的四个面中，有 n 对平面相互垂直，则 n 等于( ) 【导学号：04024097】 图 10­6 A2 B3 C4 D5 B 设 D1在平面 ABC 上的射影为 E，连接 D1E，则 D1E平面 ABC， D1E平面 ABD1， 平面 ABD1平面 ABC. D1E平面 ABC，BC平面 ABC， D1EBC，又 ABBC，D1EABE， BC平面 ABD1， 又 BC平面 BCD1， 平面 BCD1平面 ABD1， BC平面 ABD1，AD1平面 ABD1， BCAD1，又 CD1AD1，BCCD1C， AD1平面 BCD1， 又 AD1平面 ACD1， 平面 ACD1平面 BCD1. 共有 3 对平面互相垂直故选 B. 二、填空题 6(2017·黄山模拟)已知正六棱锥 S­ABCDEF 的底面边长和高均为 1，则异面直线 SC 与 DE 所成角的大小为_ 设正六边形 ABCDEF 的中心为 O，连接 SO，CO，BO，则由正六边形的性 4 质知 OCDE，SO平面 ABCDEF，所以SCO 为异面直线 SC 与 DE 所成 角又易知BOC 为等边三角形，所以 SOBCCO1，所以SCO . 4 7在三棱锥 C­ABD 中(如图 10­7)，ABD 与CBD 是全等的等腰直角三角形，O 是斜边 BD 的中点，AB4，二面角 A­BD­C 的大小为 60°，并给出下面结论： ACBD；ADCO；AOC 为正三角形；cos ADC；四面体 3 2 ABCD 的外接球表面积为 32.其中真命题是_(填序号) 图 10­7 由题意知 BDCO，BDAO，则 BD平面 AOC，从而 BDAC， 故正确；根据二面角 A­BD­C 的大小为 60°，可得AOC60°，又直线 AD 在平面 AOC 的射影为 AO，从而 AD 与 CO 不垂直，故错误；根据 AOC60°，AOCO 可得AOC 为正三角形，故正确；在ADC 中 ，ADCD4，ACCO2，由余弦定理得 cos ADC 2 42422 22 2 × 4 × 4 ，故错误；由题意知，四面体 ABCD 的外接球的球心为 O，半径为 2，则 3 42 外接球的表面积为 S4×(2)232，故正确 2 8正方体 ABCD­A1B1C1D1中，E 为线段 B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的 是_(填序号) ACBE； B1E平面 ABCD； 三棱锥 E­ABC 的体积为定值； 直线 B1E直线 BC1. 因为 AC平面 BDD1B1，故，正确；记正方体的体积为 V，则 VE­ABC V 为定值，故正确；B1E 与 BC1不垂直，故错误 1 6 三、解答题 9(2017·全国卷)如图 10­8，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ADCD. 图 10­8 (1)证明：ACBD； (2)已知ACD 是直角三角形，ABBD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 解 (1)证明：如图，取 AC 的中点 O，连接 DO，BO. 因为 ADCD，所以 ACDO1 分 又由于ABC 是正三角形， 所以 ACBO2 分 从而 AC平面 DOB，3 分 故 ACBD4 分 (2)连接 EO. 由(1)及题设知ADC90°，所以 DOAO.5 分 在 RtAOB 中，BO2AO2AB2. 又 ABBD，所以 BO2DO2BO2AO2AB2BD2， 故DOB90°.7 分 由题设知AEC 为直角三角形，所以 EO AC8 分 1 2 又ABC 是正三角形，且 ABBD，所以 EO BD.9 分 1 2 故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ， 1 2 四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，即四面体 ABCE 与四面体 1 2 ACDE 的体积之比为 1112 分 10(2017·西安模拟)如图，在直角梯形 ABCD 中， ADBC，BAD ，ABBC ADa，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交 2 1 2 点将ABE 沿 BE 折起到图中A1BE 的位置，得到四棱锥 A1­BCDE. 图 10­9 (1)证明：CD平面 A1OC； (2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1­BCDE 的体积为 36，求 a 的值. 2 【导学号：04024098】 解 (1)证明：在题图中， 因为 ABBC ADa，E 是 AD 的中点， 1 2 BAD ，所以 BEAC. 2 即在题图中，BEA1O，BEOC， 从而 BE平面 A1OC， 又 CDBE， 所以 CD平面 A1OC. (2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE， 且平面 A1BE平面 BCDEBE， 又由(1)知，A1OBE， 所以 A1O平面 BCDE， 即 A1O 是四棱锥 A1­BCDE 的高 由题图知，A1OABa，平行四边形 BCDE 的面积 SBC·ABa2. 2 2 2 2 从而四棱锥 A1­BCDE 的体积为 V ×S×A1O ×a2×aa3， 1 3 1 3 2 2 2 6 由a336，得 a6. 2 62 B 组组 名校冲刺名校冲刺 一、选择题 1(2016·乌鲁木齐三模)如图 10­10，在多面体 ABC­DEFG 中，平面 ABC平面 DEFG，ACGF，且ABC 是边长为 2 的正三角形，四边形 DEFG 是边长为 4 的正方形，M，N 分别为 AD，BE 的中点，则 MN( ) 图 10­10 A. B4 7 C. D5 19 A 如图，取 BD 的中点 P，连接 MP，NP， 则 MPAB，NPDE，MP AB1，NP DE2.又ACGF， 1 2 1 2 ACNP. CAB60°，MPN120°， MN MP2NP22 × MP × NP × cos 120° ，故选 A. 142 × 1 × 2 × ( 1 2)7 2如图 10­11，四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°， 将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 A­BCD.则在三棱锥 A­BCD 中，下列命题正确的是( ) 图 10­11 A平面 ABD平面 ABC B平面 ADC平面 BDC C平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC D 在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°， BDCD.又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，CD 平面 ABD，则 CDAB.又 ADAB，ADCDD，AB平面 ADC，又 AB平面 ABC，平面 ABC平面 ADC，故选 D. 3(2017·安阳二模)如图 10­12，在正四棱锥 S­ABCD 中，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，动点 P 在线段 MN 上运动时，下列四个结论： EPAC； EPBD； EP平面 SBD； EP平面 SAC， 其中恒成立的为( ) 【导学号：04024099】 图 10­12 A B C D A 如图所示，设 AC，BD 相交于点 O，连接 SO，EM，EN. 对于，由 S­ABCD 是正四棱锥，可得 SO底面 ABCD，ACBD，SOAC. SOBDO，AC平面 SBD，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点， EMBD，MNSD，而 EMMNM，SDBDD，SD，BD平面 SBD，MN，EM平面 EMN， 平面 EMN平面 SBD，AC平面 EMN， ACEP.故正确 对于，易知 EP 与 BD 是异面直线，因此不正确 对于，由可知平面 EMN平面 SBD， EP平面 SBD，因此正确 对于，由同理可得 EM平面 S