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2018年高考数学(文)二轮复习习题:第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训9

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2018年高考数学(文)二轮复习习题:第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训9

专题限时集训专题限时集训(九九) 空间几何体表面积或体积的求解空间几何体表面积或体积的求解 建议 A、B 组各用时:45 分钟 A 组组 高考达标高考达标 一、选择题 1(2017·唐山一模)一个几何体的三视图如图 9­13 所示,则其体积为( ) 图 9­13 A2 B24 C4 D22 A 该几何体为组合体,左边为直三棱柱,右边为半圆柱,其体积 V ×2×1×2 ×12×22.故选 A. 1 2 1 2 2已知三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各 条棱相切,第三个球过正方体各顶点,则这三个球的体积之比为( ) A1 B123 23 C123 D1827 23 C 设正方体的棱长为 a,则其内切球半径 R1 ;棱切球直径为正方体各面 a 2 上的对角线长,则半径 R2a;外接球直径为正方体的体对角线长,所以半 2 2 径 R3a,所以这三个球的体积之比为 13()3()3123.故选 3 22323 C. 3(2016·郑州一模)一个几何体的三视图如图 9­14 所示,且其侧视图是一个等边三 角形,则这个几何体的体积为( ) 【导学号:04024089】 图 9­14 A. B 4 3 3 5 3 3 C2 D 3 8 3 3 B 由题意得,该几何体为如图所示的五棱锥 P­ABCDE,体积 V × 1 3 ×,故选 B. ( 1 2 × 2 × 122) 3 5 3 3 4(2017·郑州二模)刘徽的九章算术注中有这样的记载:“邪解立方有两堑堵, 邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也 ”意思 是说:把一块立方体沿斜线分成相同的两块,这两块叫做堑堵,再把一块堑堵沿 斜线分成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积比为 21,这个比率是不 变的如图 9­15 是一个阳马的三视图,则其表面积为( ) 图 9­15 A2 B2 2 C3 D3 32 B 由三视图可得该四棱锥的底面是边长为 1 的正方形,有一条长度为 1 的侧 棱垂直于底面,四个侧面三角形都是直角三角形,侧面积为 2× ×1×12× ××11,底面积是 1,所以其表面积为 2,故 1 2 1 2222 选 B. 5(2016·湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图 9­16 所示,其中俯视图是正三 角形,则该几何体的体积为( ) 图 9­16 A. B2 33 C.3 D4 33 B 分析题意可知,该几何体是由如图所示的三棱柱 ABC­A1B1C1截去四棱锥 A­BEDC 得到的,故其体积 V×22×3 ××2×2,故选 B. 3 4 1 3 12 233 二、填空题 6(2017·济南一模)已知某几何体的三视图及相关数据如图 9­17 所示,则该几何体 的体积为_ 图 9­17 由三视图得该几何体是底面半径为 1,高为 2 的圆锥体的一半和一个底面 4 3 半径为 1,高为 2 的圆柱体的一半的组合体,所以其体积为 × ××12×2 ××12×2. 1 2 1 3 1 2 4 3 7(2017·呼和浩特一模)已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA平面 ABC,ABBC,ASAB1,BC,则球 O 的表面积为_. 3 【导学号:04024090】 5 因为 SA平面 ABC,ABBC,所以四面体 S­ABC 的外接球半径等于以 长、宽、高分别为 SA,AB,BC 三边长的长方体的外接球半径,因为 SAAB1,BC,所以 2R,则 R,故球 O 的 3AS2AB2BC25 5 2 表面积为 S4R25. 8已知三棱锥 P­ABC 的顶点 P,A,B,C 在球 O 的球面上,ABC 是边长为的 3 等边三角形,如果球 O 的表面积为 36,那么 P 到平面 ABC 距离的最大值为 _ 32 依题意,边长是的等边ABC 的外接圆半径 r ·1.球 23 1 2 3 sin 60° O 的表面积为 364R2, 球 O 的半径 R3,球心 O 到平面 ABC 的距离 d2,球面 R2r22 上的点 P 到平面 ABC 距离的最大值为 Rd32. 2 三、解答题 9(2016·合肥二模)如图 9­18,P 为正方形 ABCD 外一点,PB平面 ABCD,PBAB2,E 为 PD 的中点 图 9­18 (1)求证:PACE; (2)求四棱锥 P­ABCD 的表面积 解 (1)证明:取 PA 的中点 F,连接 EF,BF,则 EFADBC,即 EF,BC 共面 PB平面 ABCD,PBBC,又 BCAB 且 PBABB, BC平面 PAB,BCPA.3 分 PBAB,BFPA,又 BCBFB, PA平面 EFBC,PACE6 分 (2)设四棱锥 P­ABCD 的表面积为 S, PB平面 ABCD,PBCD,又 CDBC,PBBCB, CD平面 PBC,CDPC,即PCD 为直角三角形,8 分 由(1)知 BC平面 PAB,而 ADBC,AD平面 PAB, 故 ADPA,即PAD 也为直角三角形 SABCD2×24, SPBCSPAB ×2×22, 1 2 SPCDSPDA ×2×2,10 分 1 222222 S表SABCDSPBCSPDASPABSPCD 8412 分 2 10如图 9­19,一个侧棱长为 l 的直三棱柱 ABC­A1B1C1容器中盛有液体(不计容器 厚度)若液面恰好分别过棱 AC,BC,B1C1,A1C1的中点 D,E,F,G. 图 9­19 (1)求证:平面 DEFG平面 ABB1A1; (2)当底面 ABC 水平放置时,求液面的高 【导学号:04024091】 解 (1)证明:因为 D,E 分别为棱 AC,BC 的中点,所以 DE 是ABC 的中位 线,所以 DEAB.又 DE平面 ABB1A1,AB平面 ABB1A1,所以 DE平面 ABB1A1.同理 DG平面 ABB1A1,又 DEDGD,所以平面 DEFG平面 ABB1A16 分 (2)当直三棱柱 ABC­A1B1C1容器的侧面 AA1B1B 水平放置时,由(1)可知,液体 部分是直四棱柱,其高即为原直三棱柱 ABC­A1B1C1容器的高,即侧棱长 l,当 底面 ABC 水平放置时,设液面的高为 h,ABC 的面积为 S,则由已知条件可 知,CDEABC,且 SCDE S,所以 S四边形 ABED S.9 分 1 4 3 4 由于两种状态下液体体积相等,所以 V液体ShS四边形 ABEDl Sl,即 h l. 3 4 3 4 因此,当底面 ABC 水平放置时,液面的高为 l12 分 3 4 B 组组 名校冲刺名校冲刺 一、选择题 1(2017·重庆二模)某几何体的三视图如图 9­20 所示,则该几何体的体积为( ) 图 9­20 A. B 2 3 4 3 C. D. 5 3 7 3 B 根据三视图可知,几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的,其中 该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为 1,2,高为 1);该三棱锥 的底面是一个直角三角形(腰长分别为 1,2,高为 1),因此该几何体的体积为 ×2×1×1 × ×2×1×1 ,选 B. 1 2 1 3 1 2 4 3 2(2016·唐山二模)某几何体的三视图如图 9­21 所示,则该几何体的体积为( ) 图 9­21 A64 B4 C. D2 5 2 D 由三视图知,该几何体为一个底面半径为 1,高为 1 的圆柱体,与底面半 径为 1,高为 2 的半圆柱体构成,所以该三视图的体积为 ×12×1 ×12×22,故选 D. 1 2 3(2017·深圳二模)一个长方体被一个平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图 9­22 所示,则该几何体的体积为( ) 【导学号:04024092】 图 9­22 A24 B48 C72 D96 B 由三视图知,该几何体是由长、宽、高分别为 6,4,4 的长方体被一个平面 截去所剩下的部分,如图所示,其中 C,G 均为长方体对应边的中点,该平面 恰好把长方体一分为二,则该几何体的体积为 V ×6×4×448,故选 B. 1 2 4(2017·银川二模)点 A,B,C,D 在同一个球的球面上, ABBC,ABC90°,若四面体 ABCD 体积的最大值为 3,则这个球的表 6 面积为( ) A2 B4 C8 D16 D 因为 SABC ×()23 为定值,要使四面体 ABCD 的体积最大,只需点 1 26 D 到平面 ABC 的距离 h 最大由题意得 SABCh3,解得 h3,所以 h 的最 1 3 大值为 3.当 h 最大时,设 AC 的中点为 E,因为 ABBC,ABBC,所以 AC2,DE平面 ABC,且球心在 DE 上设球的半径为 r,则 r2(3r) 3 2( )2,解得 r2,所以这个球的表面积为 4r24×2216,故选 D. 3 二、填空题 5(2016·广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都 为 1,顶点在同一个球面上,则该球的体积为_. 【导学号:04024093】 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径 r1, 其高 h1,球 5 5 6 半径为 R,该球的体积 V R3 × 3 . r2(h 2)2 11 4 5 4 4 3 4 3 ( 5 4) 5 5 6 6如图 9­23,在三棱锥 A­BCD 中,ACD 与BCD 都是边长为 4 的正三角形,且 平面 ACD平面 BCD,则该三棱锥外接球的表面积为_ 图 9­23 取 AB,CD 的中点分别为 E,F,连接 EF,AF,BF,由题意知 80 3 AFBF,AFBF2,EF,易知三棱锥的外接球球心 3 1 2 AF2BF26 O 在线段 EF 上, 所以 OEOF. 6 设外接球的半径为 R,连接 OA,OC,则有 R2AE2OE2,R2CF2OF2, 所以 AE2OE2CF2OF2,()2OE222OF2, 6 所以 OF2OE22, 又 OEOF,则 OF2 ,R2,所以该三棱锥外接球的表面积为 6 8 3 20 3 4R2. 80 3 三、解答题 7如图 9­24,矩形 CDEF 和梯形 ABCD 互相垂直,BADADC90°, ABAD CD,BEDF. 1 2 图 9­24 (1)若 M 为 EA 中点,求证:AC平面 MDF; (2)若 AB2,求四棱锥 E­ABCD 的体积 解 (1)证明:设 EC 与 DF 交于点 N,连接 MN, 在矩形 CDEF 中,点 N 为 EC 中点, 因为 M 为 EA 中点,所以 MNAC2 分 又因为 AC平面 MDF,MN平面 MDF, 所以 AC平面 MDF6 分 (2)取 CD 中点为 G,连接 BG,EG, 平面 CDEF平面 ABCD,平面 CDEF平面 ABCDCD, AD平面 ABCD,ADCD, 所以 AD平面 CDEF,同理 ED平面 ABCD,7 分 所以 ED 的长即为四棱锥 E­A

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