2018年江苏高考数学二轮复习教师用书：第1部分 知识专题突破 专题10　平面解析几何

专题十专题十 平面解析几何平面解析几何 命题观察·高考定位 (对应学生用书第 44 页) 1(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1 的焦距是_ x2 7 y2 3 2 2 a27，b23，c2a2b27310， 1 10 0 c，2c2. 1010 2(2016·江苏高考)如图 101，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0) 的 x2 a2 y2 b2 右焦点，直线y 与椭圆交于B，C两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是_ b 2 图 101 由题意得B，C， 6 6 3 3 ( 3 2 a，b 2) ( 3 2 a，b 2) BF (c 3 2 a，b 2) CF (c 3 2 a，b 2) ·0，因此c2 2203c22a2e . BF CF ( 3 2 a) ( b 2) 6 3 3(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_ (x1)2y22 直线mxy2m10 经过定点(2，1) 当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2(12)2(01) 22. 4(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21 的右准线与它的两条渐近线 x2 3 分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_ 2 2 如图所示，双曲线y21 的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)， 3 3 x2 3 所以|F1F2|4. 双曲线y21 的右准线方程为x ， x2 3 a2 c 3 2 渐近线方程为y±x. 3 3 由Error!得P. ( 3 2， 3 2) 同理可得Q. ( 3 2， 3 2) |PQ|， 3 S四边形F1PF2Q ·|F1F2|·|PQ| ×4×2. 1 2 1 233 5(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250 上若·20，则点P的横坐标的取值范围是_ PA PB 【导学号：56394068】 5 5，1 1 法一：因为点P在圆O：x2y250 上， 2 2 所以设P点坐标为(x，±)(5x5) 50x222 因为A(12,0)，B(0,6)， 所以(12x，)或(12x，)， PA 50x2 PA 50x2 (x,6)或(x,6) PB 50x2 PB 50x2 因为·20，先取P(x，)进行计算， PA PB 50x2 所以(12x)·(x)()(6)20， 50x250x2 即 2x5. 50x2 当 2x50，即x 时，上式恒成立； 5 2 当 2x50，即x 时，(2x5)250x2， 5 2 解得 x1，故x1. 5 2 同理可得P(x，)时，x5. 50x2 又5x5，所以5x1. 222 故点P的横坐标的取值范围为5，1 2 法二：设P(x，y)，则(12x，y)，(x,6y) PA PB ·20， PA PB (12x)·(x)(y)·(6y)20， 即 2xy50. 如图，作圆O：x2y250， 直线 2xy50 与O交于E，F两点， P在圆O上且满足 2xy50， 点P在上 EDF 由Error!得F点的横坐标为 1， 又D点的横坐标为5， 2 P点的横坐标的取值范围为5，1 2 6(2016·江苏高考) 如图 102，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆 M：x2y212x14y600 及其上一点A(2,4) 图 102 (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6 上，求圆N的标准方程； (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程； (3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范 TA TP TQ 围 【导学号：56394069】 解 圆M的标准方程为(x6)2(y7)225， 所以圆心M(6,7)，半径为 5. (1)由圆心N在直线x6 上，可设N(6，y0) 因为圆N与x轴相切，与圆M外切， 所以 0r时相离解有关直线与圆的 相交问题要灵活运用圆的几何性质，特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，满足 勾股定理圆的切线问题一般利用dr求解，但要注意切线斜率不存在的情形，与圆有 关的最值，范围问题要注意数形结合思想的运用直线与圆中常见的最值问题：圆外一 点与圆上任一点的距离的最值直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值过 圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线， 切线长的最小值问题两圆相离，两圆上点的距离的最值 举一反三 (2017·江苏省无锡市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆 x2y25 交于A，B两点，其中A点在第一象限，且2，则直线l的方程为 BM MA _. 【导学号：56394071】 xy10 由题意，设直线xmy1 与圆x2y25 联立，可得(m21) y22my40， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y22y1，y1y2，y1y2， 2m m21 4 m21 联立解得m1，直线l的方程为xy10. 圆锥曲线的定义及标准方程 【例 4】 (江苏省苏州市 2017 届高三暑假自主学习测试)如图 104，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C： 图 104 1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3,1)在椭圆上，PF1F2的面积为 2 x2 a2 y2 b2 . 2 (1)求椭圆C的标准方程； 若F1QF2，求QF1·QF2的值 3 (2)直线yxk与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数 k的值 解 (1)由条件 可知1，c2， 9 a2 1 b22 又a2b2c2， 所以a212，b24， 所以椭圆的标准方程为1. x2 12 y2 4 当时，有Error! 3 所以QF1·QF2. 16 3 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!，得 4x26kx3k2120， 由根与系数的关系及直线方程可知： x1x2，x1x2，y1y2， 3k 2 3k212 4 k212 4 因为以AB为直径的圆经过坐标原点，则·x1x2y1y2k260， OA OB 解得k±，此时1200，满足条件， 6 因此k±. 6 规律方法 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的 定义中要求，双曲线的定义中要求0，n0)， x2 m y2 n 双曲线的标准方程可设为1(mn0)，这样可以避免讨论和繁琐的计算 x2 m y2 n 举一反三 (江苏省如东高级中学 2017 届高三上学期第二次学情调研)已知椭圆C：1 的左焦 x2 25 y2 9 点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON4，则点M到椭 圆C的左准线的距离为_ 设点M到右焦点的距离为MF，则MF2×48，由定义可知该点到左焦点的距离 5 5 2 2 MF1082，由圆锥曲线的统一定义可得点M到椭圆C的左准线的距离为d . MF e 2 4 5 5 2 圆锥曲线的几何性质 【例 5】 (江苏省扬州市 2017 届高三上学期期末)已知抛物线y216x的焦点恰好是双曲线 1 的右焦点，则双曲线的渐近线方程为_ x2 12 y2 b2 解析 根据题意，抛物线的标准方程：y216x，其焦点坐标为(4,0)， 则双曲线1 的右焦点坐标为(4,0)，则c4， x2 12 y2 b2 有 12b216，解可得b2， 则双曲线的方程为1， x2 12 y2 4 则该双曲线的渐近线方程y±x. 3 3 答案 y±x 3 3 规律方法 求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系， 然后把b用a，c代换，求 的值；在双曲线中由于e21 2，故双曲线的渐近线与离心 c a ( b a) 率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据 a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定a，c的关系 举一反三 (苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017 届高三上学期期中)如图 105，在平面直 角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：1(ab0)的右、下、上顶点， x2 a2 y2 b2 F是椭圆C的右焦点若B2FAB1，则椭圆C的离心率是_ 图 105 由题意得 × 1b2aca2c2ac1e2e,0e1e. 5 51 1 2 2 b c b a 51 2 直线与圆锥曲线的位置关系 【例 6】 (江苏省扬州市 2017 届高三上学期期末)如图 106，椭圆C： 图 106 1(ab0)，圆O：x2y2b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：ykxb分别交 x2 a2 y2 b2 圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设. AP PQ (1)若点P(3,0)，点Q(4，1)，求椭圆C的方程； (2)若3，求椭圆C的离心率e的取值范围 【导学号：56394072】 解 (1)由P(3,0)在圆O：x2y2b2上，可得b3. 又点Q在椭圆C上，得1，解得a218. 42 a2 12 32 椭圆C的方程为1； x2 18 y2 9 (2)联立Error!得x0 或xP， 2kb 1k2 联立Error!得x0 或xQ. 2kba2 a2k2b2 ，3， AP PQ AP 3 4AQ · ，即k24e21. 2kba2 k2a2b2 3 4 2kb 1k2 3a24b2 a2 k20，4e21，得e 或e . 1 2 1 2 又 0e1， e1. 1 2 规律方法 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若0，则直线 与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0 时，直线与双曲线相交；当0 时，直线与双曲线相 切；当0)的过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ( p 2，0) x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.同样可得抛物线 p2 4 y22px，x22py，x22py类似的性质 (4)解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进 行整体代入即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB|x1x2|y1y2|，而|x1x2|. 1k2 1 1 k2x1x2