2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质

课时作业A组基础巩固1设双曲线1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()Ay± x By±2xCy± x Dy± x解析：由题意得b1，c .a ，双曲线的渐近线方程为y± x，即y±x.答案：C2双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2 C4 D4解析：将双曲线2x2y28化成标准方程1，则a24，所以实轴长2a4.答案：C3双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A B4 C4 D.解析：方程mx2y21表示双曲线，m<0.将方程化为标准方程为y21.则a21，b2.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，可知b2a，b24a2，4，m.答案：A4中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x4y120上的等轴双曲线方程是()Ax2y28 Bx2y24Cy2x28 Dy2x24解析：令y0，则x4，即c4，又c2a2b2，ab，c22a2，a28.答案：A5已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A. B2C. D.解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx180°120°60°，M点的坐标为.M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D.答案：D6已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_.解析：双曲线y21的渐近线为y±，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.答案：7过双曲线1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题意知，ac，即a2acc2a2，c2ac2a20，e2e20，解得e2或e1(舍去)答案：28已知双曲线C：1(a>0，b>0)的离心率e2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为_解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为ca1，又e2，两式联立得a1，c2，b2c2a2413，方程为x21.答案：x219已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及离心率解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，所以椭圆的右焦点坐标为(，0)，双曲线的右焦点坐标为(，0)，所以3m25n22m23n2，所以m28n2，即|m|2|n|，所以双曲线的渐近线方程为y±x，y±x.离心率e，e.10设A，B分别为双曲线1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解析：(1)由题意知a2，一条渐近线为yx，即bx2y0，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0，将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212，t4，点D的坐标为(4，3)B组能力提升1(2016·高考全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)解析：根据双曲线的焦距，建立关于n的不等式组求解若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1<n<3.若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为1，即即n>3m2且n<m2，此时n不存在故选A.答案：A2已知F1，F2分别是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是()A(1,1) B(1，)C(1，1) D(，1)解析：由ABF2为锐角三角形得，<tan 1，即b2<2ac，c2a2<2ac，e22e1<0，解得1<e<1，又e>1，1<e<1.答案：A3已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C左支上一点，A，当APF周长最小时，该三角形的面积为_解析：由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F×6×6×6×212.答案：124已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_解析：由双曲线的渐近线y±x与圆(x2)2y23相切可知解得故所求双曲线的方程为x21.答案：x215已知双曲线C：1(a>0，b>0)的离心率为，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值解析：(1)由题意得解得所以b2c2a22.所以双曲线C的方程为x21.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)由得x22mxm220(判别式>0)所以x0m，y0x0m2m.因为点M(x0，y0)在圆x2y25上，所以m2(2m)25.故m±1.6已知双曲线C：1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2, 0)，离心率e2.(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程解析：(1)由已知得c2，e2，a1，b.所求的双曲线方程为x21.(2)设直线l的方程为yxm，点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组将式代入式，整理得2x22mxm230.(*)设MN的中点为(x0，y0)，则x0，y0x0m，所以线段MN垂直平分线的方程为y即xy2m0，与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，可得|2m|·|2m|4，得m22，m±此时(*)的判别式>0，故直线l的方程为yx±.