有限元导论－第四章

第四章 平面问题,有限元早期的研究是从弹性力学的平面问题开始的，对平面问题的研究使有限元的研究对象从离散体向连续体迈出了关键性的一步。,两类平面问题,1、平面应力问题,x,y,z,2、平面应变问题,重力坝,水压力,z,x,y,平面问题的基本物理量,弹性矩阵,平面应力：,平面应变：,三角形单元,单元结点力和结点位移,位移模式,代入结点坐标和结点位移,确定待定常数,式中,用结点位移表示的单元位移,表示成形函数的形式,形函数的定义,另外三个系数,矩阵形式表示,单元间位移的连续,根据式(4.11)和(4.13)，在单元的边界上位移是线性变化的，两个相邻的单元在其公共结点上具有相同的结点位移，因而在他们的公共边界上，两个单元将具有相同的位移，也就是说所选的位移函数保证了相邻单元之间位移的连续性。,单元的应变与B矩阵,B是常数矩阵,单元应力,形函数的性质和面积坐标,形函数的性质1,形函数性质2,证明如下：,0,0,2D,形函数的性质3,三角形单元ijm的边ij上，形函数满足,只要把下式代入形函数的表达式即可得到上式,这个性质可以用来证明单元的位移在边界上是连续的！,i,j,m,单元边界位移连续的再次证明,面积坐标,面积坐标与形函数的关系,i,j,m,p,Di,面积坐标与直角坐标的关系,关于面积坐标的积分公式,上述公式在单元的等效结点力计算时要用到,单元刚度矩阵,B是常数矩阵,分块形式的单刚,对于平面应力,体积力的等效结点力,所以,自重的等效结点力,表面力的等效结点力,线性分布的表面力,线性分布的表面力,在ij边上形函数为,所以,i,j,m,s,l,Di,Dj,方向固定的分布力,均布荷载：,三角形分布荷载：,热应力,对于各向同性材料的平面应力问题,如果温度为线性分布,矩形单元,位移模式,局部坐标,x,h,x,y,(x0, y0),2b,2a,位移模式,矩阵形式,应变矩阵,应变矩阵,单元刚度矩阵,单元位移的连续性,体积力的等效结点力,自重的等效结点力,表面力,线性分布的表面力,温度荷载,假设：,得到温度载荷的等效结点力为(平面应力，各向同性),收敛准则,对于一个数值方法，我们总是希望随着网格的逐步细分，得到的解答收敛于问题的精确解。从上面分析中可以看出，在单元形状确定以后，位移模式的选择是关键。等效载荷的计算，刚度矩阵的建立和应变应力的计算等等，都依赖于位移模式。显然，一个与真实位移分布有很大差别的位移模式，是很难得到很好的数值结果。,位移模式包含单元的刚体位移,位移模式包含单元的常应变,位移模式在单元内连续，相邻单元间协调,完备,协调,完备的协调单元保证有限元计算的收敛性,位移模式的几何各向同性,对称性的利用,应力计算结果的整理,应力在单元间不连续,P,(1),(2),(3),(4),算例1,10MPa,10MPa,10MPa,10MPa,9cm,6cm,x,y,单元数量对计算结果的影响,单元形状对计算结果的影响,算例2,有限元模型,III类围岩,衬砌附近的网格,