中心极限定理 大数定律与中心极限定理

第二节 中心极限定理,大数定律与中心极限定理,一、中心极限定理的意义,在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和）影响所形成的.,例如，炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的. 每个随机因素对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的. 那么弹着点服从怎样分布？,一、中心极限定理的意义,如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响所起的作用不大，则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.,高斯,一、中心极限定理的意义,现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.,当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？,在什么条件下极限分布会是正态的呢？,一、中心极限定理的意义,一、中心极限定理的意义,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态 分布这一类定理都叫做中心极限定理.,二、李雅普诺夫中心极限定理,1. 李雅普诺夫(Lyapunov)定理,注意：,二、李雅普诺夫中心极限定理,二、李雅普诺夫中心极限定理,对于李雅普诺夫定理中的随机变量序列，将其约束条件改为独立同分布，即,林德贝尔格勒维 中心极限定理,三、勒维中心极限定理,2. 林德贝尔格勒维（Lindeberg-Levy）定理,三、勒维中心极限定理,三、勒维中心极限定理,例1 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中 目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率.,解：,设Xi -第i次轰炸命中目标的炸弹数，i=1,2, ,100,三、勒维中心极限定理,则100次轰炸命中目标的炸弹总数为,依题意，,例1 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中 目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率.,由中心极限定理,三、勒维中心极限定理,于是，,三、勒维中心极限定理,例2 计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则. 为简单计，现从小数点后第一位进行舍入运算，设误差 . 若一项计算中进行了100次数字运算，求平均误差落入 上的概率.,解：,设Xi -第i次运算中产生的误差，i=1,2, ,100,则诸Xi 独立，服从 ，,100次运算的平均误差为,于是，,依题意，,由中心极限定理,三、勒维中心极限定理,对于勒维中心极限定理中的随机变量序列，将其约束条件改为独立同0-1分布，即,三、勒维中心极限定理,拉普拉斯 中心极限定理,四、拉普拉斯中心极限定理,3. 棣莫佛拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理,定理表明: 二项分布的极限分布是正态分布,四、拉普拉斯中心极限定理,在n重贝努利试验中，描述A事件发生次数的随机 变量服从二项分布. 当试验次数较多时，根据中心极 限定理，可利用正态分布近似计算二项分布，即,四、拉普拉斯中心极限定理,例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.,解：,则,依题意，,四、拉普拉斯中心极限定理,例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.,由中心极限定理,于是，,五、课程小结,1. 标准化因子,五、课程小结,中心极限定理其实是描述的随机变量序列和，经标准化后，当序列容量无限大时的极限分布.,2. 中心极限定理的内容,五、课程小结,六、课堂练习,根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由题给条件知，诸Xi独立，,16只元件的寿命的总和为,且E(Xi)=100, D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920).,设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16,解：,E(Y)=1600,D(Y)=160000,由中心极限定理,近似N(0,1),P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,六、课堂练习,