2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第一章 1.2 第2课时　高度、角度问题

课时作业A组基础巩固1某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的()A北偏西35°B北偏东55°C南偏西35° D南偏西55°解析：如图可知，D项正确答案：D2已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa kmB.a kmC.a km D. 2a km解析：ACB120°， ACBCa，由余弦定理知 ABa.答案：B3从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A，B间距离是35 m，则此电视塔的高度是()A5 m B10 mC. m D35 m解析：作出示意图，设塔高OC为h m.在OAC中，OAh，OBh.AB35，AOB150°，由余弦定理求得h5.答案：A4.如图，从山顶A望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD100米，点C位于BD上，则山高AB等于()A100米B50 米C50米 D50(1)米解析：在ACD中，CD100米，D30°，DACACBD45°30°15°，.AC.在ABC中，ACB45°，ABC90°，AC米，ABACsin 45°50(1)米答案：D5一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是()A15海里/时 B5海里/时C10海里/时 D20海里/时解析：如图，依题意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10海里/时答案：C6.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得BDC45°，则塔AB的高是_米解析：在BCD中，CD10，BDC45°，BCD15°90°105°，DBC30°，由正弦定理得，则BC10.在RtABC中，tan 60°，所以ABBCtan 60°10.答案：107.如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两楼，ABBD，CDBD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为30°，测得乙楼底部D的俯角60°，已知甲楼高AB24米，则乙楼高CD_米解析：EDAB24米，在ACD中，CAD30°60°90°，AECD，DE24 米，则AD16(米)，则CD32 (米)答案：328在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10m，则旗杆的高度为_m.解析：如图，设旗杆高为h，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BCh.在ABC中，AB10 m，CAB45°，ABC105°，ACB30°，由正弦定理，得，故h30 m.答案：309.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD50 m，山坡对于地平面的坡角为，求cos 的值解析：在ABC中，由正弦定理可知，BC50()在BCD中，sinBDC1.由题图，知cos sinADEsinBDC1.10甲船在A处观测到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距10海里，乙船向正北行驶，设甲船的速度是乙船的倍，问甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？解析：设AB10海里，两船在C处相遇，CAB，乙船行驶了x海里，则AC x海里由题意，知ABC180°60°120°.在ABC中，由正弦定理，得sin ，30°或150°.由题意知30°.ACB180°(ABC)180°(120°30°)30°，BCAB10海里，60°60°30°30°.故甲船应沿北偏东30°的方向行驶才能追上乙船，此时，乙船已行驶了10海里B组能力提升1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A沿北偏东30°方向前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：设水柱高度是h，水柱底端为C，则在ABC中，BAC60°，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50(负值舍去)，故水柱的高度是50 m.答案：A2如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)m D30(1)m解析： tan 15°tan(60°45°)2，BC60tan 60°60tan 15°120(1)(m)，故选C.答案：C3如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60°，C点的仰角CAB45°以及MAC75°；从C点测得MCA60°.已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析：在RtABC中，CAB45°，BC100 m，所以AC100m.在AMC中，MAC75°，MCA60°，从而AMC45°，由正弦定理得，因此AM100m.在RtMNA中，AM100 m，MAN60°，由sin 60°得MN100×150(m)答案：1504(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD_m.解析：依题意，BAC30°，ABC105°，在ABC中，由ABCBACACB180°，所以ACB45°，因为AB600，由正弦定理可得，即BC300m，在RtBCD中，因为CBD30°，BC300.所以tan 30°，所以CD100m.答案：1005.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且ABBC60 m，求建筑物的高度解析：设建筑物的高度为h，由题图知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cosPBA，cosPBC.PBAPBC180°，cosPBAcosPBC0.由，解得h30(m)或h30(m)(舍去)，即建筑物的高度为30 m.6海岛O上有一座海拔1 km的小山，山顶设有一观察站A，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角为60°.(1)求该船的速度；(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？解析：(1)如图，在RtAOB和RtAOC中，OBOAcot 60°，OCOAcot 30°.在BOC中，由余弦定理得BC，由C到B用的时间为(h)，该船的速度为2(km/h)(2)在OBC中，由余弦定理，得cosOBC，sinOBC，sinOEBsin(OBEEOB)sinOBE·cosEOBcosOBE·sinEOB，在BEO中，由正弦定理得OE.BE，从B到E所需时间为(h)，即所需时间为5 min.即该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E离海岛O的距离是1.5 km.