2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第二篇第3节　函数的奇偶性与周期性

第3节函数的奇偶性与周期性【选题明细表】知识点、方法题号函数奇偶性的判定1,4函数周期性的应用3,9函数奇偶性的应用2,5,6,7,8,10,12函数基本性质的综合应用11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·北京顺义区二模)下列函数中为奇函数的是(D)(A)y=x2+2x(B)y=ln|x|(C)y=()x (D)y=xcos x2.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于(A)(A)-2(B)0(C)1(D)2解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1),又当x>0时,f(x)=x2+,所以f(1)=12+1=2,所以f(-1)=-2.故选A.3.(2017·浙江台州一模)若函数y=f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2 017)等于(B)(A)-2 017(B) 0(C)1(D)2 017解析:因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,所以f(1)=f(-1),所以-f(1)=f(-1)=f(1),所以f(1)=f(-1)=0,所以f(2 017)=f(1)=0.故选B.4.(2017·广东深圳一模)已知f(x)=,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是(D)(A)h1(x)=f(x)+g(x)是偶函数(B)h2(x)=f(x)·g(x)是奇函数(C)h3(x)=是偶函数(D)h4(x)=是奇函数解析:f(x)=,g(x)=|x-2|,A.h1(x)=f(x)+g(x)=+|x-2|=+2-x,x-2,2.h1(-x)=+2+x,不满足函数的奇偶性的定义,是非奇非偶函数.B.h2(x)=f(x)·g(x)=|x-2|=(2-x),x-2,2.h2(-x)=(2+x),不满足奇偶性的定义.C.h3(x)=,x-2,2),不满足函数的奇偶性定义.D.h4(x)=,x-2,0)(0,2,函数是奇函数.故选D.5.(2017·湖南郴州二模)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=ax(a>0且a1),且f(lo4)=-3,则a的值为(A)(A)(B)3(C)9(D)解析:因为奇函数f(x)满足f(lo4)=-3,lo4=-2<0,所以f(2)=3,又因为当x>0时,f(x)=ax(a>0且a1),所以f(2)=a2=3,解之得a=±(舍负).故选A.6.导学号 38486027(2017·山东济宁二模)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,当x1,x2(0,+)时,都有(x1-x2)·f(x1)-f(x2)<0.设a=ln,b=(ln )2,c=ln,则(C)(A)f(a)>f(b)>f(c)(B)f(b)>f(a)>f(c)(C)f(c)>f(a)>f(b)(D)f(c)>f(b)>f(a)解析:由已知条件知f(x)在(0,+)上是减函数;且f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|);|a|=ln >1,b=(ln )2>|a|,c=(0,|a|),所以f(c)>f(a)>f(b).故选C.7.已知f(x)=lg(+a)是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是(B)(A)(-,0)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(-,0)(1,+)解析:由f(x)+f(-x)=0,即lg(+a)+lg(+a)=0可得a=-1,所以f(x)=lg.解0<<1可得-1<x<0.故选B.8.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)= . 解析:令x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(+1),即x<0时,f(x)=-(+1)=-1.答案:-19.若偶函数y=f(x)为R上周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3x3),则f(-6)等于. 解析:因为y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)(x-a)(-3x3),所以f(x)=x2+(1-a)x-a,所以1-a=0,所以a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3x3).f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1.答案:-1能力提升(时间:15分钟)10.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x1,3时,nf(x)m恒成立,则m-n的最小值为(A)(A)(B)2(C)(D)解析:设x>0,则-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)2+3(-x)+2=-x2+3x-2.所以在1,3上,当x=时,f(x)max=;当x=3时,f(x)min=-2.所以m且n-2.故m-n.故选A.11.导学号 38486028(2017·宁夏中卫一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(-1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+ f(2 017)的值为(C)(A)1(B)0(C)-2(D)2解析:因为f(2-x)=f(x),所以f2-(2+x)=f(2+x),即f(-x)=f(2+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x+4)=f(x),故函数f(x)的周期为4.因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(-1)=2,所以f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)=504·f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(2 017)=504×(-2+0+2+0)+f(1)=0+(-2)=-2.故选C.12.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=. 解析:由题意知,f(x)的定义域为R,因为f(x)是偶函数,所以f (-1)=f(1),从而有ln(e3+1)+a=ln(e-3+1)-a,解得a=-.答案:-13.导学号 38486029已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=. 解析:因为f(x)为奇函数并且f(x-4)=-f(x).所以f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即f(4-x)=f(x),且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即y=f(x)的图象关于x=2对称,并且是周期为8的周期函数.因为f(x)在0,2上是增函数,所以f(x)在-2,2上是增函数,在2,6上为减函数,据此可画出y=f(x)的示意图.其图象也关于x=-6对称,所以x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-8.答案:-814.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f(+x)=-f(-x)成立.(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期;(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值;(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数a的值.解:(1)由f(+x)=-f(-x),且f(-x)=-f(x),-f(-x)=f(x-)=f(+x),所以y=f(x)是周期函数,且3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.(3)因为y=|f(x)|·g(x)是偶函数,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2+ax+3为偶函数,所以a=0.