2019届高三人教A版数学一轮复习练习：第二章 函数、导数及其应用 第13节 第三课时

第二章第二章 第第 13 节节 第三课时第三课时 1(导学号 14577238)(理科)(2018·济南市一模)已知函数 f(x)exaxa(aR 且 a0) (1)若函数 f(x)在 x0 处取得极值，求实数 a 的值；并求此时 f(x)在2,1上的最大值； (2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围 解：(1)函数的定义域为 R，f(x)exa， 由函数 f(x)在 x0 处取得极值， 则 f(0)1a0，解得 a1， 即有 f(x)exx1，f(x)ex1， 当 x0 时，有 f(x)0，f(x)递减， 当 x0 时，有 f(x)0，f(x)递增 则 x0 处 f(x)取得极小值，也为最小值，且为 2， 又 f(2)e23，f(1)e，f(2)f(1)， 即有 f(2)为最大值 e23； (2)函数 f(x)不存在零点，即为 exaxa0 无实数解， 由于 x1 时，e00 显然不成立，即有 aR 且 a0. 若 x1，即有a， ex x1 令 g(x)，则 g(x)， ex x1 exx2 x12 当 x2 时，g(x)0，g(x)递增， 当 x1 和 1x2 时，g(x)0，g(x)递减 即有 x2 处 g(x)取得极小值，为 e2， 在 x1 时，g(x)0，则有 0ae2， 解得e2a0， 则实数 a 的取值范围为(e2,0) 1(导学号 14577239)(文科)(2018·南平市质检)已知函数 f(x)exx. (1)求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)已知 t 为实数，求函数 f(x)在区间t，t2上的最小值； (3)定义在区间 D 上的函数 g(x)，若存在区间a，bD 及实常数 m，当 xa，b时， g(x)的取值范围恰为am，bm，则称区间a，b为 g(x)的一个同步偏移区间，m 为同步 偏移量 试问函数 yf(x)x(x21)在(1，)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一 个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由 解：(1)由题意知 f(1)e1, f(x)ex1. 函数 f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率 ke1， 切线方程为 y(e1)(e1)(x1)，即 y(e1)x. (2)令 f(x)ex10 得 x0. 当 t0 时，在t，t2上 f(x)0，f(x)单调递增，fmin(x)f(t)ett. 当21 时，g(x)0 ，g(x)为增函数，Error! 即方程(x21)exxm 有两个大于 1 的相异实根 设 (x)(x21)exxm(x1)，则 (x)(x22x1)ex1. x1，(x)0，(x)在(1，)上单调递增. (x)在区间(1，)上至多有一个零点与方程(x21)exxm 有两个大于 1 的相异 实根矛盾， 假设不成立，即 g(x)在(1，)上不存在同步偏移区间 2(导学号 14577240)(理科)(2018·濮阳市一模)设函数 f(x)aln xbx2. (1)当 b1 时，讨论函数 f(x)的单调性； (2)当 a1，b0 时，函数 g(x)f(x)kx，k 为常数，若函数 g(x)有两个相异零点 x1，x2，证明：x1·x2e2. 解：(1)b1 时，f(x)aln xx2，定义域是(0，)， f(x)(x0)， a2x2 x a0 时，a2x20，f(x)0，f(x)在(0，)递减 a0 时，f(x)，(x0)， 2(x a 2)(x a 2) x x时，f(x)0，x时， (0， a 2) ( a 2，) f(x)0， 故 f(x)在递减，在递增 ( a 2，) (0， a 2) (2)证明：a1，b0 时，g(x)f(x)kxln xkx， 由 g(x)0，得 ln xkx，设 x1x2， 又ln x1kx10，ln x2kx20， ln x1ln x2k(x1x2)， ln x1ln x2k(x1x2)， k. ln x1ln x2 x1x2 要证明 x1x2e2，只需证明 ln x1ln x22， 即证明 k(x1x2)2，即证明 k， 2 x1x2 即证明， ln x1ln x2 x1x2 2 x1x2 即证明 ln . x1 x2 2x1x2 x1x2 设 t，则 t1. x1 x2 设 h(t)ln t，(t1)， 2t1 t1 则 h(t)0， t12 tt12 函数 h(t)在(1，)递增 h(1)0，h(t)h(1)0， ln t，x1x2e2. 2t1 t1 3(导学号 14577241)(文科)(2018·菏泽市一模)设函数 f(x)ln x ax2bx. 1 2 (1)当 ab 时，求函数 f(x)的单调区间； 1 2 (2)令 F(x)f(x) ax2bx (00；当 x1 时，f(x)0， 所以 m1， ln x x 要使方程 f(x)mx 在区间1，e2上有唯一实数解， 只需 m1有唯一实数解， ln x x 令 g(x)1(x0)， ln x x g(x)，由 g(x)0 得 0e， 1ln x x2 g(x)在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数 g(1)1，g(e2)1，g(e)1 ，故 1m1 时，解得 x1，x2. a a2a a a a2a a f(x)在(，x1)和(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减， 但是函数值恒大于零，极大值 f(x1)，极小值 f(x2)，并且根据指数函数和二次函数的变 化速度可知当 x时，f(x)，当 x时，f(x)0.因此当 f(x2) ex 1ax2 ex 1ax2 1. 1 a 由 f(x)0，得 x 或 x1. 1 a 当 x(0,1)，x时，f(x)单调递减 ( 1 a，) f(x)的单调递减区间为(0,1)，； ( 1 a，) 当 a1 时，恒有 f(x)0，f(x)单调递减 f(x)的单调递减区间为(0，)； 当 a(1，)时， h ， ( 1 2) 9 10 ln 2 5 10210ln 2 12 10210 12 23 3 ( 1 2) k 的取值范围为. (1， 9 10 ln 2 5 )