高考专题：平面向量中的三角形“四心”问题题型总结

专题：平面向量中三角形“四心”问题题型总结在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力现就“四心”作如下介绍：1“四心”的概念与性质(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为21.在向量表达形式中，设点G是ABC所在平面内的一点，则当点G是ABC的重心时，有0或()(其中P为平面内任意一点)反之，若0，则点G是ABC的重心在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x，y.(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心它与顶点的连线垂直于对边在向量表达形式中，若H是ABC的垂心，则···或222222.反之，若···，则H是ABC的垂心(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等在向量表达形式中，若点I是ABC的内心，则有|·|·|·0.反之，若|·|·|·0，则点I是ABC的内心(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等在向量表达形式中，若点O是ABC的外心，则()·()·()·0或|.反之，若|，则点O是ABC的外心2关于“四心”的典型例题例1已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_心解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心答案重点评探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之例2已知ABC内一点O满足关系230，试求SBOCSCOASAOB 之值解延长OB至B1，使BB1OB，延长OC至C1，使CC12OC，连接AB1，AC1，B1C1，如图所示，则2，3，由条件，得0，所以点O是AB1C1的重心从而SB1OC1SC1OASAOB1S，其中S表示AB1C1的面积，所以SCOAS，SAOBS，SBOCSB1OC×SB1OC1S.于是SBOCSCOASAOB123.点评本题条件230与三角形的重心性质0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比引申推广已知ABC内一点O满足关系1230，则SBOCSCOASAOB123.例3求证：ABC的垂心H、重心G、外心O三点共线，且|HG|2|GO|.证明对于ABC的重心G，易知，对于ABC的垂心H，设m()，则m()(m1) mm.由·0，得(m1) mm()0，(m1) ·()m(22)0，因为|，所以(m1) ·()0.但与不一定垂直，所以只有当m1时，上式恒成立所以，从而，得垂心H、重心G、外心O三点共线，且|2|.引申推广重心G与垂心H的关系：()点评这是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A、B、C的向量例4设A1，A2，A3，A4，A5 是平面内给定的5个不同点，则使0成立的点M的个数为()A0B1C5D10解析根据三角形中的“四心”知识，可知在ABC中满足0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满足本题条件的点也只有1个答案B点评本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想本题的详细解答过程如下：对于空间两点A，B来说，满足0的点M是线段AB的中点；对于空间三点A，B，C来说，满足0，可认为是先取AB的中点G，再连接CG，在CG上取点M，使MC2MG，则M满足条件，且唯一；对于空间四点A，B，C，D来说，满足0，可先取ABC的重心G，再连接GD，在GD上取点M，使DM3MG，则M满足条件，且唯一，不妨也称为重心G；与此类似，对于空间五点A，B，C，D，E来说，满足0，可先取空间四边形ABCD的重心G，再连接GE，在GE上取点M，使EM4MG，则M满足条件，且唯一