高一希望杯数学竞赛(立体几何)专题
高一数学竞赛（立体几何）专题一、有关概念、性质、定理1平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。2. 空间直线.（1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）直线在平面外，指的位置关系是平行或相交若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角） 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.注：是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. （或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面）3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）注：直线与平面内一条直线平行，则. （×）（平面外一条直线）直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）（平面外一条直线）若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） 直线与平面、所成角相等，则.（×）（、可能相交）（3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）（4）. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 4. 平面平行与平面垂直.（1）. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面内的任一直线平行于另一平面.（3）. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行线线平行”）（4）. 两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直面面垂直”）（5）. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.简证：如图，在平面内过O作OA、OB分别垂直于，因为则.所以结论成立 5. 棱柱. 棱锥（1）. 棱柱.棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.（2）. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.（3）. 球：a.球的截面是一个圆面.球的表面积公式：.球的体积公式：.附：圆柱体积：（为半径，为高）圆锥体积：（为半径，为高）锥体体积：（为底面积，为高） （1）. 内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，得.注：球内切于四面体：。外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.二、例题解析1已知,是异面直线，给出以下四个命题： 一定存在平面过且与平行 一定存在平面与,都垂直 一定存在平面过且与垂直 一定存在平面与, 的距离都相等其中错误的命题个数是（ ）(A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .2、（1）（2）（3）（4）+以上都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中有两个完全一样的是-（ ）（A）（1）与（2）（B）（1）与（3）（C）（2）与（4）（D）（3）与（4）3、平面平面，直线a，a与成45°角，直线b，b与成45°角，则直线a与b所成的角的大小为 。4、正方体每个面上正方形的对角线叫做正方体的面对角线。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BD1垂直的面对角线的条数是-（ ）（A）0（B）3（C）6（D）95、如图所示是一个5´4´4的长方体，上面有2´1´4，2´1´5，3´1´4的穿透的洞，剩下部分的体积为-（ ）（A）50（B）54（C）56（D）586、矩形ABCD中，AB=4，BC=3，PA平面ABCD，PA=1，则P点到BD的距离等于 。7、在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点，在这样的一个四面体中，直角三角形最多有-（ ）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个8、在正四面体ABCD中，ABC和ACD的中心分别为M和N，且MN=1，这个四面体的高为 。9、在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1上一点，且A1E=1，F为截面A1BD内一动点，则AF+FE的最小值等于 。10定点P不在ABC所在平面内，过P作平面，使ABC的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有（）（）个（）个（）个（）个11 已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.512在三棱锥PABC中，底面是边长为2 cm的正三角形，PAPB3 cm，转动点P时，三棱锥的最大体积为 B，D， ，C，C，13/5，D，D，B，5
