四川省成都市新都一中必修一同步练习：第一章 集合与函数 第11课时 函数的最值
www.ks5u.com四川省成都市新都一中高一同步练习第一章集合与函数的概念第11课时 函数的最大(小)值基础达标(水平一)1.下列四个函数:y=3-x;y=1x2+1;y=x2+2x-10;y=-2x.其中值域为R的函数个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】y=3-x是一次函数,其值域为R;x2+11,0<1x2+11,函数y=1x2+1的值域不是R;y=x2+2x-10=(x+1)2-11-11,其值域不是R;y=-2x,y0,其值域不是R.故选A.【答案】A2.已知函数f(x)=-x2+2x+2a(x0,3)有最大值3,则实数a的值为().A.4B.3C.1D.2【解析】f(x)=-x2+2x+2a=-(x-1)2+2a+1(x0,3),当x=1时,f(x)取最大值2a+1,所以2a+1=3,得a=1.【答案】C3.若函数y=2ax-b 在1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是().A.1B.-1C.1或-1D.0【解析】当a>0时,最大值为4a-b,最小值为2a-b,差为2a,得a=1;当a<0时,最大值为2a-b,最小值为4a-b,差为-2a,得a=-1.【答案】C4.用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=minx2,x+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为().A.4B.5C.6D.7【解析】画出函数f(x)的图象,由图象可知,函数f(x)的最大值为6,故选C.【答案】C5.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么f(2)、f(1)、f(4)的大小关系是. 【解析】f(2+t)=f(2-t),f(x)图象关于直线x=2对称,且开口向上,f(x)在2,+)上单调递增.又f(1)=f(3).f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4).【答案】f(2)<f(1)<f(4)6.已知函数f(x)=kx2+2kx+3(k0)在-3,2上的最大值为6,则实数k的值为. 【解析】f(x)=kx2+2kx+3图象的对称轴为直线x=-1.故当k>0时,f(x)max=f(2)=4k+4k+3=6,解得k=38;当k<0时,f(x)max=f(-1)=k-2k+3=6,解得k=-3.【答案】38或-37.已知函数f(x)=x+1x-1(x1).(1)证明:f(x)在(1,+)上是减函数.(2)当x3,5时,求f(x)的最小值和最大值.【解析】(1)设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-1-x2+1x2-1=(x1+1)(x2-1)-(x2+1)(x1-1)(x1-1)(x2-1)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1).x1>1,x2>1,x1-1>0,x2-1>0,(x1-1)(x2-1)>0,x1<x2,x2-x1>0,f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),f(x)在(1,+)上是减函数.(2)3,5(1,+),f(x)在3,5上是减函数,f(x)max=f(3)=2,f(x)min=f(5)=32.拓展提升(水平二)8.已知函数y=x2-2x+3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是().A.1,+) B.0,2 C.(-,2 D.1,2【解析】f(x)=(x-1)2+2,f(x)min=2,f(x)max=3,且f(1)=2,f(0)=f(2)=3,1m2,故选D.【答案】D9.已知函数f(x)=x2-x+a-1的图象与x轴至多有一个交点,则实数a的取值范围是().A.-,54B.-,54C.54,+D.54,+【解析】由题意知函数f(x)=x2-x+a-1的最小值大于或等于0.而f(x)=x-122+a-54,故f(x)min=a-54,a-540,即a54.故选D.【答案】D10.函数f(x)=xx-1(x2)的最大值为 . 【解析】f(x)=xx-1=x-1+1x-1=1+1x-1,f(x)=xx-1在2,+)上是减函数,f(x)=xx-1在2,+)的最大值是f(2)=22-1=2.【答案】211.已知A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x km处C地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距两城距离都不得小于10 km.已知供电费用为供电距离的平方与供电量之积的0.3.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.(1)把月供电总费用y表示成x的函数.(2)核电站建在距A城多远处,才能使月供电总费用最少?【解析】(1)由x10且100-x10得10x90.A城月供电费用为0.3×20x2=6x2,B城月供电费用为0.3×10(100-x)2=3(100-x)2,总费用y=6x2+3(100-x)2=9x2-600x+30000(10x90).(2)y=9x2-600x+30000=9x-10032+20000,当x=1003时,y取得最小值.故当核电站建在距A城 1003 km时,才能使月供电总费用最少.
