高一教科版物理必修二讲义及练习：第三章 第3节 万有引力定律的应用2 万有引力定律在天文学上的应用（讲义）

高中物理万有引力定律在天文学上的应用 一、考点突破：一、考点突破： 考点考点考纲要求考纲要求备注备注 万有引力定律在 天文学上的应用 1. 掌握万有引力在星球表面及高 空引力的计算方法 2. 掌握天体运动模型及卫星的各 物理量的关系 3. 理解卫星的向心加速度和所在 高度的重力加速度的关系 本知识点是独立的知识点，高考 中每年必考，主要以选择题的形 式出现，考查知识点有描述卫星 参量的关系、天体的追及问题、 估测等，题目设置的物理情景多 源于我国的航空航天事业的突出 成绩。 二、重难点提示：二、重难点提示： 重点：重点：天体运动模型及卫星的各物理量的关系。 难点：难点：天体运动模型的建立及卫星运行的加速度和地球表面重力加速度的关系。 应用之一：物体万有引力的计算应用之一：物体万有引力的计算 1. 在地球表面：在地球表面： 2 R mM Gmg 2. 在某一高度在某一高度 h 处：处：。 2 ' () Mm mgG Rh 应用之二：利用万有引力定律分析环绕天体运动的快慢应用之二：利用万有引力定律分析环绕天体运动的快慢 原理：原理：卫星绕天体中心做匀速圆周运动，天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周 运动的向心力。 1. 线速度：线速度： r v r GM v r v m r Mm G 1 2 2 2. 角速度：角速度： 3 3 2 2 1 r r GM rm r Mm G 3. 周期：周期： 3 32 2 2 2 44 rT GM r Tr T m r Mm G 4. 向心加速度：向心加速度： 222 1 r a r GM ama r Mm G 【核心归纳核心归纳】 1. 卫星越高越慢； 2. 卫星运动的向心加速度等于卫星所在高度的重力加速度； g 3. 描述卫星运动快慢的物理量（v、T、a）只与高度有关； 4. r 为卫星半径，指卫星到中心天体中心的距离。 应用之三：发现未知天体应用之三：发现未知天体万有引力定律的贡献万有引力定律的贡献 背景：1781 年由英国物理学家威廉·赫歇尔发现了天王星，但人们观测到的天王星的 运行轨迹与万有引力定律推测的结果有一些误差，于是人们就推测在天王星外面轨道上还 应有其他星体 1. 1845 年，英国人亚当斯和法国天文学家勒威耶据计算，发现了“海王星”（第 8 个行 星）。 2. 1930 年 3 月 14 日，人们发现了冥王星。从第一次发现的 1930 年到 2006 年，冥王星 被当作太阳系的第 9 颗行星。2006 年 8 月 24 日，国际天文联合会首次将冥王星排除在行 星外。 例题例题 1 （北京卷）万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在 的一致性。 （1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有 不同的结果。已知地球质量为 M，自转周期为 T，万有引力常量为 G。将地球视为半径为 R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数 是 F0。 a. 若在北极上空高出地面 h 处称量，弹簧秤读数为 F1，求比值的表达式，并就 0 1 F F 的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；Rh%0 . 1 b. 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为 F2，求比值的表达式。 0 2 F F （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道的半径 r、太阳的半径 Rs和地球的半径 R 三者均 减小为现在的 1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用， 以现实地球的 1 年为标准，计算“设想地球”的 1 年将变为多长。 思路分析：思路分析：（1）设小物体质量为 m。 a. 在北极地面 0 2 F R Mm G 在北极上空高出地面 h 处 1 2 )( F hR Mm G 2 2 0 1 )(hR R F F 当时Rh%0 . 1 98 . 0 01. 1 1 2 0 1 F F b. 在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力， 有 R T mF R Mm G 2 2 2 2 4 得 。 2 32 0 2 4 1 GMT R F F （2）地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，设太阳质量为 MS，地球质 量为 M，地球公转周期为 TE，有 2 2 2 4 E S T Mr r MM G 得 3 332 34 SS E RG r GM r T 其中 为太阳的密度。 由上式可知，地球公转周期 TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径和太阳半径之比有 关。因此“设想地球”的 1 年与现实地球的 1 年时间相同。 答案：答案：（1）a. 0.98 2 2 0 1 )(hR R F F b. 2 32 0 2 4 1 GMT R F F （2）1 年 例题例题 2 （天津高考）（天津高考）一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍 做匀速圆周运动，速度减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前、后卫星的（ 2 1 ） A. 向心加速度大小之比为 41 B. 角速度大小之比为 21 C. 周期之比为 18 D. 轨道半径之比为 12 思路分析：思路分析：根据，得卫星变轨前、后的轨道半径之比为， r v m r Mm G 2 2 4 1 2 1 2 2 2 1 v v r r 选项 D 错误；根据ma，得卫星变轨前、后的向心加速度大小之比为 2 r Mm G ，选项 A 错误；根据m2r，得卫星变轨前、后的角速度大小之比 1 16 2 1 2 2 2 1 r r a a 2 r Mm G 为，选项 B 错误；根据 T，得卫星变轨前、后的周期之比为 1 8 3 1 3 2 2 1 r r 2 ，选项 C 正确。 8 1 1 2 2 1 T T 答案：答案：C 【方法提炼方法提炼】 卫星中的追及问题可以以某一颗卫星为参考系，得到相对角速度后进行求解。 满分训练：满分训练：某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过 N 年，该行星会运行到 日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径比为（ ） A. 2 3 1 () N N B. 2 3 () 1 N N C. 3 2 1 () N N D. 3 2 () 1 N N 思路分析：思路分析：地球周期年，经过 N 年，地球比行星多转一圈，即多转，角速1 1 T2 度之差为，所以N，即，环绕周期公式为) 22 ( 21 TT ) 22 ( 21 TT 2 1 2 N N T ，所以，化简得。 GM r T 3 2 3 1 3 2 1 2 r r T T 3 2 3 2 1 2 1 2 ) 1 ()( N N T T r r 答案：答案：B