数学建模用回归分析探究止痛剂疗效模型分析解析

用回归分析探究止痛剂疗效模型摘要：本文通过结合实际情况，对病人疼痛减轻时间和影响它的因素：用药量，性别，血压作了较为合理的分析。首先，我们将用药量分为四组，求其每组用药量的平均值，利用Minitab工具，画出散点图。我们通过散点图分析，得到了病痛减轻时间和平均用药量的数学模型：二次模型。然后，我们假设病人疼痛减轻时间分别与性别，血压呈线性关系。综合上述，我们就第一次得到了较为粗略的数学模型。结合数据，通过MATLAB回归分析检验，我们得到了可以接受的数学模型。同时，我们也发现其存在问题，需要优化，所以，我们提出对模型的改进：同样，将用药量分为四组，将血压分为三组，分别求其平均值。考虑不同性别的病痛患者疼痛减轻时间与平均用药量的关系，不同性别的病痛患者疼痛减轻时间与平均用药量和平均血压共同作用的关系；不同性别的病痛患者病痛减轻时间与平均用药量和不同性别的共同作用的关系。同理，我们利用Minitab工具，画出不同性别患者病痛减轻时间和分好组的平均用药量的散点图；不同性别病痛患者病痛减轻时间和分好组的平均用药量和平均血压共同作用的散点图；不同性别病痛患者病痛减轻时间和分好组的平均用药量和性别共同作用的散点图。这样我们就得到了个改进后的二次模型。我们通过MATLAB工具，经过回归分析检验我们发现改进后的数学模型较以前的模型更加优化，更加接近实际。因此，我们接受改进后的模型。这样我们就得到了病人疼痛减轻时间与用药量和性别以及血压间的关系，即最终数学模型。此数学模型可以作为我们根据患者的用药量，性别，血压来预测其病痛减轻时间。关键字：回归方程 矩阵 置信区间 估计值问题重述 一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛药的疗效。设计了一种药物试验，给患者有同种病痛的病人使用这种新止痛剂的一下4个剂量中的某一个：2g，5g，7g和10g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）。为了解新药的疗效与病人性别和血压又什么关系，实验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试。通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成三组，分别记作0.25,0.50,和0.75.实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）。请你为公司建立一个模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间。问题分析及建立模型根据常识，我们知道病人的病痛减轻时间与用药量有直接的关系，除此之外，一般的话，病人病痛减轻时间与性别，血压也有明显的关系。我们假设病痛减轻时间为y,用药剂量为,性别为，血压组别为。分析不同用药剂量下的病痛减轻时间，根据所给数据用minitab作散点图：(分别作出线性、二次、三次关系拟合)以上三幅图的比较中，我们发现，随着用药剂量的增加，y有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型可知：病痛减轻时间与用药剂量成二次函数关系，则可建立模型：y=+分别作病痛减轻时间与性别和血压组别的散点图： 在病痛减轻时间与性别的散点图中，性别的不同并未导致病痛减轻时间很大的变化，而在病痛减轻时间与血压组别的散点图中，血压分为三个组别，不易看出两者的关系。于是我们假设病人疼痛减轻时间分别与性别、血压呈线性关系，可建立模型：及由以上分析可建立综合模型： （1）模型求解直接利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解：x = 1.0000 2.0000 0 0.2500 4.0000 1.0000 2.0000 0 0.5000 4.0000 1.0000 2.0000 0 0.7500 4.0000 1.0000 2.0000 1.0000 0.2500 4.0000 1.0000 2.0000 1.0000 0.5000 4.0000 1.0000 2.0000 1.0000 0.7500 4.0000 1.0000 5.0000 0 0.2500 25.0000 1.0000 5.0000 0 0.5000 25.0000 1.0000 5.0000 0 0.7500 25.0000 1.0000 5.0000 1.0000 0.2500 25.0000 1.0000 5.0000 1.0000 0.5000 25.0000 1.0000 5.0000 1.0000 0.7500 25.0000 1.0000 7.0000 0 0.2500 49.0000 1.0000 7.0000 0 0.5000 49.0000 1.0000 7.0000 0 0.7500 49.0000 1.0000 7.0000 1.0000 0.2500 49.0000 1.0000 7.0000 1.0000 0.5000 49.0000 1.0000 7.0000 1.0000 0.7500 49.0000 1.0000 10.0000 0 0.2500 100.0000 1.0000 10.0000 0 0.5000 100.0000 1.0000 10.0000 0 0.7500 100.0000 1.0000 10.0000 1.0000 0.2500 100.0000 1.0000 10.0000 1.0000 0.5000 100.0000 1.0000 10.0000 1.0000 0.7500 100.0000>> b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b = 63.1291 -10.2706 5.6667 -1.5000 0.5111bint = 48.7173 77.5409 -14.9243 -5.6169 -0.0213 11.3546 -15.4325 12.43250.1319 0.8903stats = 0.8275 22.7903 0.0000 44.310b表示的各个参数估计值，bint表示其各个参数估计值的置信区间。Stats下的各个数据依次表示回归方程的决定系数，即相关系数，F统计量值，F统计量对应的概率值p。结果分析：从上表我们可以看出，=0.8275指因变量y的82.75可由模型确定。F=22.7903远远超过F检验的临界值。P=0.0000远远小于a(置信水平)，所以，该模型大体上还是可以应用的。上表的回归系数给出了的估计值，即=63.1291，=-10.2706，=5.6667，=-1.5000，=0.5111.根据其各自的置信区间，我们可以检查发现：、的置信区间包含了零点。它表明了回归变量，还不是太显著。病痛减轻时间预测：将回归系数值代入简化后的模型。即可预测病痛减轻时间y，预测值记为 ，得到预测方程：63.1291-10.2706+5.6667-1.5000+0.5111我们只需知道用药量，性别，血压，我们就能计算预测值。如对男性，血压组别为0.5，用药剂量为5时的疼痛时间进行预测63.1291-10.2706*5+5.6667*1-1.5000*0.5+0.5111*25=29.47（四舍五入）如对女性，血压组别为0. 5，用药剂量为5时的疼痛时间进行预测63.1291-10.2706*5+5.6667*0-1.5000*0.5+0.5111*25=23.80（四舍五入）模型改进由于的置信区间包含了零点，这就表明了此模型还有待改进。模型（1）中分析回归变量、对y的影响都是相互独立的。下面讨论自变量之间的相互作用对y的影响：为探究用药剂量与性别的共同作用对疼痛减轻时间的影响，作不同性别时，用药剂量与疼痛减轻时间的关系图：其中，虚线表示男性用药剂量与疼痛减轻时间分析图，实线表示女性用药剂量与疼痛减轻时间分析图。由图可以明显看出来性别与用药剂量的相互作用对疼痛减轻时间有影响，可用与的乘积代表他们的相互作用。为探究用药剂量与血压组别的共同作用对疼痛减轻时间的影响，作不同血压组别时，用药剂量与疼痛减轻时间的关系图：其中，C3、C6、C9分别是血压组别为0.25、0.50、0.75时用药剂量与疼痛减轻时间的关系。由图可以看出来用药剂量与血压组别的相互作用对疼痛减轻时间有影响，可用与的乘积代表他们的相互作用。由表中所给数据可看出性别与血压组别的相互作用对疼痛减轻时间的影响不大。于是将模型（1）中增加两项和，得到模型： （2）利用MATLAB的统计工具得到如下结果：其中矩阵x的第六列表示，第七列表示。x = 1.0000 2.0000 0 0.2500 4.0000 0 0.5000 1.0000 2.0000 0 0.5000 4.0000 0 1.0000 1.0000 2.0000 0 0.7500 4.0000 0 1.5000 1.0000 2.0000 1.0000 0.2500 4.0000 2.0000 0.5000 1.0000 2.0000 1.0000 0.5000 4.0000 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000 0.7500 4.0000 2.0000 1.5000 1.0000 5.0000 0 0.2500 25.0000 0 1.2500 1.0000 5.0000 0 0.5000 25.0000 0 2.5000 1.0000 5.0000 0 0.7500 25.0000 0 3.7500 1.0000 5.0000 1.0000 0.2500 25.0000 5.0000 1.2500 1.0000 5.0000 1.0000 0.5000 25.0000 5.0000 2.5000 1.0000 5.0000 1.0000 0.7500 25.0000 5.0000 3.7500 1.0000