1213二微分几何期末复习题

一， 填空1. 若曲线C 能与另一条曲线 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C的主法线与的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C在正则点邻近的近似曲线为x¤(s) = s; y¤(s) = k(0)2 s2; z¤(s) = k(0)¿(0)6 s3;3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 .4.“采柴罗"不动条件是 dx¤ds = ky¤ ¡ 1, dy¤ds = ¡kx¤ + ¿z¤ dz¤= ¡¿y¤ .5.空间曲线C : r = r(s) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k(s) 和挠率¿ (s) 满足 .6. 设C : r = r(s) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 .7.半径为R的圆的曲率为_. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M(t) 的弧长是 5at .9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_F=0_, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是_F=M=0_. 11，距离单位球面球心距离为的平面与球面的交线的法曲率为 ， 12. 距离单位球面球心距离为的平面与球面的交线的测地曲率为 .13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=_0_；沿曲率线的切方向，法曲率=_N/G_；沿测地线的切方向，法曲率=_.15曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角为 16曲面上曲线的曲率K，测地曲率Kg，法曲率Kn之间的关系是 K2=K2g+K2n 。17. 下列关于特殊曲线的论断，不正确的是 （ A ） A. 若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线 B. 平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身 C. 沿渐近曲线，曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合 D. 沿测地线，曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直18，下列曲面不是可展曲面的是 （ A ) A. B. 曲线的切线曲面 C. 高斯曲率恒为0的无平点曲面 D. 与平面等距等价的曲面 19，下面各量中, 不是内蕴量的是 ( C ) A. 曲面上曲线的曲率 B. 曲面上曲线的测地曲率 C. 曲面上测地三角形的内角和 D. 曲面的高斯曲率 20，下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 【 C 】 A. 脐点处，任何方向都是主方向 B. 非脐点处，主方向垂直 C. 脐点处，无主方向 D. 非脐点处，有且仅有两个主方向 二，计算题1曲线，求（1）基本向量、；（2）曲率和挠率.答案，习题P60 8题2求自然方程为的曲线的参数方程答案，课件PDF P50 例题63计算单位球面r(,) =cossin,sinsin,cos上曲线 = logcot(/4-t/2)， = /2-t 0 t /2,的弧长。答案，课件PDF P69 例题64求环面r(,) = (b+asin)cos,(b+asin)sin,acos的面积,其中a,b (b > a)是正常数,参数02,02.答案，课件PDF P73 例题95求曲面的渐进网。答案，习题P146 8题6试求双曲面的曲率线。答案，习题P146 12题7试求双曲面，在点处的平均曲率和Gauss曲率。答案，习题P146 21题8试求下列曲面上的测地线（1）平面；（2）圆柱面。答案，课件PDF P136 例题2，例题4，例题59求位于半径为R的球面上半径为a的圆周曲线的测地曲率(a < R).答案，习题P202 3题10. 求半径为R的球面上测地三角形三内角之和 。球面参数方程为 答案，习题P202 16题四，证明1如果曲线: r = r(s) 为一般螺线, ; 为的切线向量和主法向量, R为的曲率半径. 证明: 也是一般螺线.答案，习题P87 8题2证明具有常曲率的曲线是贝特朗曲线，且的侣线是的曲率中心的轨迹，并证明的曲率=，挠率答案，习题P87 12题