专升本高数第一轮--第三章--一元函数积分学

引 言,第三章 一元函数积分学,积分学分为不定积分与定积分两部分。不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系。,本章主要内容 3.1 不定积分 3.2 不定积分的计算 3.3 定积分 3.4 定积分的计算 3.5 广义积分,3.1.1 不定积分的概念,3.1.2 不定积分的基本公式和 运算法则,3.1 不定积分,微分法:,积分法:,互逆运算,3.1.1 不定积分的概念,定义1 若在某一区间上，F(x)=f(x) ，则在这个区间上，函数 F(x) 叫做函数 f(x) 的一个原函数。,一、不定积分的定义,定理1 若函数f(x)在某区间上连续，那么f(x)在该区间上的原函数一定存在。,定理2 若函数f(x)有原函数，那么它就有无数多个原函数.,定理3 函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数。,关于原函数，先研究三个问题： a.函数f(x)应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在？,b.若函数f(x)有原函数，那么原函数一共有多少个？,c.函数f(x)的任意两个原函数之间有什么关系？,定理1：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都可以表示成F(x)+C（C为任意常数）。,定义2 若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数F(x)C称为f(x)的不定积分，记为,x 称为积分变量,f(x)称为被积函数，,f(x)dx 称为被积表达式,其中 称为积分号，,C 称为积分常数,例1 求下列不定积分,(1),(2),解：,(2),(3),(3),(1),例2 用微分法验证等式：,证明：因为,是cos(2x+3)的一个原函数，,所以,即,例3 求经过点(1,3)，且其切线的斜率为2x的曲线方程。,解：由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知,得曲线簇 y=x2+C,将x=1,y=3代入，得 C=2,所以 y=x2+2,3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则,一、不定积分的基本公式,由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算。因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式。,基本积分表,例4,求下列不定积分,(1),(2),(3),解：,(1),(2),(3),例5 验证,解：当x0时，,当x0时，,所以,关于不定积分，还有如下等式成立：,2.,1.,或,或,.不为零的常数因子，可移动到积分号前。,.两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和,（k0）,二、不定积分的运算法则,（可推广到有限多个函数之和的情况）,例6 求,解：原式=,直接积分法：利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法。,例7 求,解：原式,例8 求,解：原式=,例9 求,解：原式=,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分公式。,3.2 不定积分的计算 利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法:换元积分法与分部积分法,3.2.1 换元积分法 一、第一类换元积分法（凑微分法） 有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来。,例如,想到基本积分公式,若令u2x，把2x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来,定理1 设f(u)具有原函数F(u) ，u(x)可导 则有,第一类换元积分法,第一类换元公式（凑微分法）,则有换元公式,注意,使用此公式的关键在于将,第一类换元法又称为凑微分法。,例10 求,解：原式=,例14 求,解：,说明：正余弦三角函数积分的偶次幂时，一般应先降幂。,凑微分常见类型,二、第二类换元积分法 第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式。但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换 x(t)，而积分,目的：去根号或化为基本积分公式,可用基本积分公式求解。,定理2 设f(x)连续，x(t)是单调可导的连续函数，且其导数(t)0，x(t)的反函数t=-1(x)存在且可导，并且,则,根式代换,例19 求,解：,考虑到被积函数中的根号是困难所在，故,令,当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令x=tn（其中n为各根指数的最小公倍数）,例20 求,解：,令,例21 求,解:令,则, 原式,三角代换,小 结,注意：三角代换的目的是化掉根式。,三角代换常有下列规律,可令,可令,可令,小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、根式代换、倒数代换,三角代换常有下列规律,可令,可令,可令,考虑积分,解决思路,利用分部积分法,问题的提出,3.2.2 分部积分法,分部积分公式,下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积分的基本方法分部积分法。,对此不等式两边求不定积分,即,分部积分过程：,应用分部积分法时，可按下述步骤计算：,(凑微：定出),(分部：利用分部积分公式),（积分）,例25 求积分,解:,令,若令,显然， 选择不当，积分更难进行。,若u和dv选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取u和dv是一个关键。 选取u和dv一般要考虑下面两点： (1)v要容易求得；,(2),要比,容易积出,例26 求积分,解,若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为u。,例27 求积分,解:,令,若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为u。,被积函数类型及u和dv的选取法,类型：,类型：,类型：,任意选取,3.3 定积分,(Definite Integrals),定积分是积分学的一个重要概念，在科学研究和生产实践中应用十分广泛，如平面图形面积、变力所作的功等均可归结为定积分问题。,实例1 (求曲边梯形的面积),一、定积分的概念,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,近似,分割,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,求和,取极限,解决问题的方法步骤：,“分割，近似，求和，取极限”,2、定积分的定义,定义1,记为,积分上限,积分下限,积分和,(2)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即,注意:(1)定义中区间的分法和 的取法是任意的。,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,3、定积分的几何意义,一般情况下，定积分 表示曲线y=f(x)与x 轴介于a、b之间的各部分面积的代数和。,例1 利用定义计算定积分,x,y,0,1,采用“以直代曲”的方法,解：,(1) 分割,(2)近似,(3)求和,(4)取极限,小 结,.定积分的实质：特殊和式的极限,.定积分的思想和方法：,直（不变）代曲（变）,近似,对定积分的补充规定:,二、定积分的性质,性质1,性质2,(k为常数),补充：不论a,b,c的相对位置如何, 上式总成立。,(积分区间的可加性),性质3,性质4,性质5,推论,证明：,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,证明：,由闭区间上连续函数的介值定理知，在区间a,b上,性质7（定积分中值定理）,至少存在一个点，使,若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点，使,积分中值公式,积分中值公式的几何解释：,3.4 定积分的计算,3.4.1 微积分基本定理,3.4.3 定积分的分部积分法,3.4.2 定积分的换元积分法,3.4.4 定积分的应用,3.4.1 微积分基本定理 为了得到微积分基本定理，先研究积分上限函数的导数。,设函数f(x)在区间a,b上连续，并且设x为a,b上的一点，考察定积分,记作,积分上限函数,一、积分上限函数及其导数,是x的函数,（或称可变上限积分）,注,积分上限函数的性质,定理1 若 在a,b上连续，则积分上限函数 在a,b上具有导数，且它的导数是,例3 设,解：,，求,二、微积分基本定理 微积分基本定理也可叫做牛顿-莱布尼茨公式，它是用求原函数的方法计算定积分的数值。,定理 （微积分基本公式）,证明：,若 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间a,b上的一个原函数，则,令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,一个连续函数在区间a,b上的定积分可用它的任意一个原函数在区间a,b端点上的值来表示。,例6 求,原式,解：,例7 设 , 求 .,解：,例8 求,解：,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,小 结,由牛顿莱布尼茨公式，定积分的求值问题可以转化为不定积分的问题，但有时运算过程冗长复杂。若采用定积分换元法，比较简便，下面讨论定积分换元法。,3.4.2 定积分的换元积分法,的函数，而只要把新变量,积分限也相应的改变。,换成新变量,把变量,(1)用,应用换元公式时应注意:,时，,(2)求出,的一个原函数,不必象计算不定积分那样再要把,原变量,限分别代入,然后相减就行了。,后，,变换成,的上、下,例1 计算,解,令,证明：,例5,当,在,上连续，且有,为奇函数，则,为偶函数，则,思考：几何意义？,几何解释：,偶函数,奇函数,奇函数,例4 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,推导,3.4.3 定积分的分部积分法,例1 计算,解：,令,则,例2 计算,解：,定积分的分部积分公式,小 结,在一些实际问题中，常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分了因此，我们对定积分作如下两种推广，从而形成“广义积分”的概念,问题提出,3.5 广义积分(improper integral),问题的提出（Introduction),前面遇到的定积分,是确定的常数，且,在,上连续。,那么如何计算下列两种类型的积分？,是普通的积分，,定义4 设函数f(x)在区间a,+)内连续，b是a,+)内任一实数，若极限 存在，则称此极限值为函数f(x)在区间a,+)内的广义积分，记做,并称此时广义积分收敛，否则，若 不存在，则称此时广义积分发散.,同样可定义在区间(-,b上的广义积分,符号 称为f(x)在区间(-，+)上的广义积分，若对任意实数c ，广义积分 和 都收敛，则称广义积分收敛或存在，否则称为发散,例1 计算广义积分,这个广义积分值的几何意义是：当a- ,b+ 时，虽然图中阴影部分向左、右无限延伸，但面积却有极限值。简单地说，它是位于曲线 的下方，x 轴上方的图形面积。,例2 讨论广义积分 敛散性。,3.4.4 定积分的应用 一、微元法 在应用定积分解决实际问题时，关键是将实际问题归结为定积分。定积分 的定义导出有四步，先将a,b分成n个小区间，然后在每个小区间上作近似替代 ，再求代数和 ，最后取极限,解：,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,例1 计算由两条抛物线,和,所围成的,图形的面积。,解：,两曲线的交点,选 为积分变量,(2,-2),(8,4),例2 计算由曲线,和直线,所围,成的图形的面积。,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。,圆柱,圆锥,圆台,二、旋转体的体积,y=f(x),a,b,曲边梯形：